Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

#1

Μερικές ασκήσεις τριγωνομετρίας για τους φίλους της Β΄ Γυμνασίου:

1. Ο αριθμός $\displaystyle{A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sigma \upsilon \nu 46^o \right)\left( \sqrt{3}-\varepsilon \varphi 59^o\right)\left( 1-\sigma \upsilon \nu 1^o\right)}$ είναι θετικός, αρνητικός ή μηδέν;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς χρήση του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών ή υπολογιστή.

2. Για το τρίγωνο ΑΒΓ γνωρίζουμε ότι οι γωνίες του Β και Γ είναι οξείες, εφΒ= $\displaystyle{\frac{5}{2}}$ και εφΓ= $\displaystyle{\frac{5}{4}}$ .
α. Η γωνία Α είναι οξεία, αμβλεία ή ορθή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς να χρησημοποιήσετε τον πίνακα των τριγωνομετρικών αριθμών.
β. Αν η πλευρά ΒΓ είναι 6 cm να υπολογίσετε το μήκος του ύψους του ΑΔ.

3. Ο κ είναι ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 90 για τον οποίο γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\epsilon \phi k^o<\frac{\sqrt{3}}{3}}$ και $\sigma \upsilon \nu k^o<\sigma \upsilon \nu 28^o.$
Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης
$\Pi =\eta \mu ^2(k^o+1^o)+\sigma \upsilon \nu ^2(k^o+16^o).$

#2

Αγαπητέ Παύλο, πολύ ωραίες οι ασκήσεις, που εξασκούν την κριτική ικανότητα των μαθητών και προαπαιτούν την κατανόηση των τριγωνομετρικών αριθμών οξειών γωνιών.

Όμως, ... δύσκολα θα πάρουμε απαντήσεις από μαθητές της φετινής Β΄ Γυμνασίου, που έχουν ακολουθήσει το Αναλυτικό Πρόγραμμα του Γυμνασίου!

Οι μεταβολές των τριγωνομετρικών αριθμών (Κεφ. 2.3) είναι εκτός ύλης φέτος.

Επίσης, προτείνεται "να μην διδαχθεί η παρατήρηση β, σελ. 143 ( $\displaystyle {\rm{\varepsilon \phi \omega = }}\frac{{{\rm{\eta \mu \omega }}}}{{{\rm{\sigma \upsilon \nu \omega }}}}$ ) γιατί είναι εκτός των στόχων του αναλυτικού προγράμματος".

Σωστά, αφού δεν το λέει (επί λέξει...) το Αναλυτικό Πρόγραμμα Σπουδών του 2002 να μην διδαχτεί η σχέση τριγ. αριθμών.
Όμως, γιατί τότε το κεφ. 2.3 δεν διδάσκεται, αφού το ΑΠΣ 2002 αναφέρει στους στόχους του:
"Να γνωρίζουν πώς µεταβάλλεται το ηµίτονο και το συνηµίτονο οξείας γωνίας όταν μεταβάλλεται η γωνία. Να γνωρίζουν πώς µεταβάλλεται η εφαπτοµένη οξείας γωνίας, όταν µεταβάλλεται η γωνία.";

Όσο πιο γρήγορα καταλάβουν οι διαμορφωτές του Αν. Προγράμματος τι κακό προκαλούν υποβαθμίζοντας την τριγωνομετρία, τόσο το καλύτερο.

Μέχρι τότε, ΠΡΟΤΕΙΝΩ: Μαζί με την επίλυση των ασκήσεων του Παύλου να γράψουμε και δυο λόγια και να δώσουμε μερικές ανοιχτές δραστηριότητες στο Geogebra στις μεταβολές τριγωνομετρικών αριθμών.
(Αν δεν υπάρξει ανταπόκριση σε εύλογο χρόνο, θα αναρτήσω κάποια σχετικά κείμενα).

#3

Καλησπέρα
Γιώργο να δώσω εγώ ένα κλικ
http://users.sch.gr/geoman22/GeoGymB/index.htm

#4

Αγαπητέ Γιώργο απολογούμαι. Δεν είχα προσέξει ότι η συγκεκριμένη παράγραφος, η 2.3, είναι εκτός ύλης.
Ζητώ συγγνώμη από τους φίλους μαθητές της Β΄Γυμνασίου που ενδεχομένως να την προσπάθησαν.

Στο σχολείο που διδάσκω, τη δίδαξα τη συγκεκριμένη παράγραφο. Κατασκεύασα τις συγκεκριμένες ασκήσεις για να συνδέσω τις διάφορες έννοιες. Τις δοκίμασα σε ένα τμήμα και με χαρά είδα ότι πέρασαν οι ιδέες σε αρκετά παιδιά. Μάλιστα την 1η την χρησιμοποίησα σε γραπτή δοκιμασία. Αυτός ήταν και ο λόγος που τις κατέθεσα στο

.

Επί τη ευκαιρία να καταθέσω την εμπειρία μου.
Όποτε παρουσιάζω τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε κάποιο τμήμα πάντα αναφέρομαι και θέτω ερωτήματα του τύπου τι παθαίνει το ημίτονο όταν μεγαλώνει η γωνία και άλλα παρόμοια. Και βέβαια αν δεν ρωτήσω εγώ, θα το παρατηρήσουν οι μαθητές. Επίσης αβίαστα παρατηρούν τη σχέση που έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των συμπληρωματικών γωνιών.

#5

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αγαπητέ Γιώργο απολογούμαι. Δεν είχα προσέξει ότι η συγκεκριμένη παράγραφος, η 2.3, είναι εκτός ύλης.
Ζητώ συγγνώμη από τους φίλους μαθητές της Β΄Γυμνασίου που ενδεχομένως να την προσπάθησαν.

(...)

Επί τη ευκαιρία να καταθέσω την εμπειρία μου.
Όποτε παρουσιάζω τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς σε κάποιο τμήμα πάντα αναφέρομαι και θέτω ερωτήματα του τύπου τι παθαίνει το ημίτονο όταν μεγαλώνει η γωνία και άλλα παρόμοια. Και βέβαια αν δεν ρωτήσω εγώ, θα το παρατηρήσουν οι μαθητές. Επίσης αβίαστα παρατηρούν τη σχέση που έχουν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των συμπληρωματικών γωνιών.

Αγαπητέ Παύλο,άλλοι χρειάζεται να απολογηθούν ή έστω να μάς εξηγήσουν το σκεπτικό τους για τις συγκεκριμένες περικοπές που έκαναν στην ύλη, διακόπτοντας τη δομή του Α.Π.Σ. του 2002 και των σχολικών βιβλίων!

Καταθέτοντας την εμπειρία σου, νομίζω, ότι περιγράφεις το Μάθημα όπως θα έπρεπε να γίνεται στην συγκεκριμένη ενότητα.

Ας περιμένουμε λίγο ακόμα για τυχόν απαντήσεις μαθητών (κάθε τάξης...).

Χρήστο, πολύ καλές οι εφαρμογές του συνάδελφου, στο σύνδεσμο που έδωσες. Σας ευχαριστούμε!
Δίνω ένα πολύ απλό σχηματάκι σε Geogebra με μεταβολές της εφαπτομένης (το σχεδίασα μόνο από 0° ως 60°).

bilstef · #6

Γιώργο ή άλλος,
πώς θα μπορούσε στο σχέδιο μεταβολής των τιμών εφ με geogebra που έδωσες
ο δρομέας να μεταβάλλεται από 1^0

μέχρι την γωνία ΑΒΓ και όχι μέχρι 60^0

μόνο;
Το προσπαθώ αλλά δεν το καταφέρνω

bilstef · #7

Επανέρχομαι γιατί ίσως η προηγούμενη ερώτηση μου δεν έγινε σωστά.
Ο δρομέας στο αρχείο του Γιώργου αυξομειώνει την γωνία ΑΒΔ και μετακινεί φυσικά το σημείο Δ.
Πώς μπορούμε να πετύχουμε ο δρομέας να αυξομειώνει την γωνία ΑΒΔ ΜΕΧΡΙ την γωνία ΑΒΓ,Ανάλογα με το που βρίσκεται το Γ( δηλαδή ανεβοκατεβάζοντάς το ).Φυσικά μπορούν οι υπολογισμοί να γίνουν χωρίς δρομέα και μετακινώντας το Δ με το "'χέρι".δείτε και το συνημένο geogebra στο οποίο θα ήθελα να προσθέσω δρομέα που μετακινεί την γωνία ΑΒΔ από 0 μοίρες μέχρι την γωνία ΑΒΓ ,όπου πάει-μετακινηθεί το Γ δηλ όσο κι αν αυξομειωθεί η γωνία ΑΒΓ.

mikekaskada · #8

Ίσως κάτι δεν καταλαβαίνω , αλλά γιατί επιμένετε να έχετε δύο τρίγωνα και όχι ένα;
Ανεβάζω ένα αρχείο το οποίο δεν είναι μόνον για την μεταβολή της εφαπτομένης, αλλά και πολλά άλλα, από την αρχή την μέση και το τέλος.
Μιχάλης

#9

Ανταποκρινόμενος σε μήνυμα που έλαβα από την Αρσενόη (arsen.tkd) , γράφω μια λύση για το 1ο πρόβλημα.

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: 1. Ο αριθμός $\displaystyle{A=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\sigma \upsilon \nu 46^o \right)\left( \sqrt{3}-\varepsilon \varphi 59^o\right)\left( 1-\sigma \upsilon \nu 1^o\right)}$ είναι θετικός, αρνητικός ή μηδέν;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς χρήση του πίνακα τριγωνομετρικών αριθμών ή υπολογιστή.[/tex]

Για να γίνει κατανοητή η λύση που ακολουθεί, θα πρέπει να γνωρίζει κανείς μια όμορφη ιδιότητα που έχουν τα ημίτονα, τα συνημίτονα και οι εφαπτόμενες των οξειών γωνιών!

" Όταν μια οξεία γωνία αυξάνεται τότε: αυξάνεται το ημίτονό της, ελαττώνεται το συνημίτονό της και αυξάνεται η εφαπτομένη της. " (Σχολικό βιβλίο, παράγραφος 2.3, σελίδα 148)
Αν κάποιος δεν είναι εξοικειωμένος με τον παραπάνω κανόνα ας κάνει τον κόπο να παρατηρήσει τον πίνακα με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς στη σελίδα 254 του σχολικού βιβλίου. Θα διαπιστώσει, κοιτώντας τη στήλη με τα ημίτονα, ότι όσο μεγαλώνει η γωνία τόσο μεγαλώνει το ημίτονο. Με άλλα λόγια
$\eta \mu 1^o<\eta \mu 2^o<\eta \mu 3^o<...<\eta \mu 88^o<\eta \mu 89^o$ .
Αντίθετα για τα συνημίτονα όσο μεγαλώνει η γωνία τόσο μικραίνει το συνημίτονό της.
$\sigma \upsilon \nu 1^o>\sigma \upsilon \nu 2^o>\sigma \upsilon \nu 3^o>...>\sigma \upsilon \nu 88^o>\sigma \upsilon \nu 89^o$ .
Η εφαπτομένη έχει την ίδια συμπεριφορά με το ημίτονο: Όσο μεγαλώνει η γωνία τόσο μεγαλώνει η εφαπτομένη της.
$\epsilon \phi 1^o<\epsilon \phi 2^o<\epsilon \phi 3^o<...<\epsilon \phi 88^o<\epsilon \phi 89^o$ .

Επίσης θα πρέπει να γνωρίζει κανείς ότι $\displaystyle\sigma \upsilon \nu 45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$ και $\epsilon \phi 60^o=\sqrt{3}$ . (Πίνακας σελίδα 153, σχ. βιβλίο)

Για να βρούμε το πρόσημο του αριθμού Α θα πρέπει να βρούμε το πρόσημο κάθε παράγοντα. Ας ξεκινήσουμε με τον πρώτο παράγοντα. Είναι
$\frac{\sqrt{2}}{2}-\sigma \upsilon \nu 46^o=\sigma \upsilon \nu 45^o-\sigma \upsilon \nu 46^o$ . Η διαφορά αυτή είναι ένας θετικός αριθμός γιατί 45^o<46^o

οπότε όπως λέει ο κανόνας της σελίδας 148, θα είναι $\sigma \upsilon \nu 45^o>\sigma \upsilon \nu 46^o$ .

Για τον δεύτερο παράγοντα είναι
$\sqrt{3}-\epsilon \phi 59^o=\epsilon \phi 60^o-\epsilon \phi 59^o$ . Η διαφορά αυτή είναι επίσης θετικός αριθμός γιατί όπως λέει ο κανόνας της σελίδας 148, αφού 60^o>59^o

θα είναι $\epsilon \phi 60^o>\epsilon \phi 59^o$ .

Για τον τρίτο παράγοντα $1-\sigma \upsilon \nu 1^o$ θα σκεφτούμε διαφορετικά: Στη σελίδα 143 αναφέρει το βιβλίο ότι 0 < συνω < 1 για οποιαδήποτε οξεία γωνία! Άρα $\sigma \upsilon \nu 1^o<1$ οπότε η διαφορά $1-\sigma \upsilon \nu 1^o$ είναι ένας θετικός αριθμός.

Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α είναι ένας θετικός αριθμός αφού είναι το γινόμενο τριών θετικών αριθμών.

#10

Βασίλη (bistef) καλημέρα.
Σου στέλνω ένα αρχείο που δείχνει πώς οπλίζουμε το δρομέα με επιθυμητά άκρα.
Αν βέβαια κατάλαβα καλά το ερώτημά σου έχει καλώς. Αν πάλι δεν το πέτυχα πες το μου ξανά.

Κώστας Δόρτσιος

Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Re: Ασκήσεις Τριγωνομετρίας για τη Β΄ Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση