Μια Άσκηση μια Τάξη...

#1

Συζητώντας σήμερα σε τμήμα Β΄ Γυμνασίου για τα θέματα των εξετάσεων τους ανέφερα ότι μου αρέσουν τα συνδυαστικά θέματα, που ελέγχουν ταυτόχρονα τις γνώσεις σε πολλές ενότητες και απαιτούν και κριτική σκέψη και δυνατότητα σύνθεσης. Δεν θα έλεγα ότι τρελάθηκαν από τη χαρά τους.
Λόγο στο λόγο τους είπα ότι θα μπορούσα να φτιάξω μια άσκηση με πολλά υποερωτήματα που θα κάλυπταν όλη τη διδακτέα ύλη της τάξης τους. Με αμφισβήτησαν ευθέως ... και τους υποσχέθηκα να τους δώσω την επομένη μια τέτοια άσκηση.

Τη δίνω και στους μαθητές μας, αλλά και σε όποιον θα ήθελα να σχολιάσει, να κρίνει να προσθέσει ή να αφαιρέσει κάτι.

Μια ΑΣΚΗΣΗ … μια ΤΑΞΗ

1. Λύστε την εξίσωση: $\displaystyle \frac{{\lambda - 1}}{6} - \frac{2}{3} = \frac{{3 - 2\lambda }}{3} - 1$ (1).

2. Βρείτε τις τιμές του x που επαληθεύουν την ανίσωση: $-1 \leq 2x + 3 \leq 13$ (2)

3. Δίνεται η συνάρτηση $y = \lambda x + 5$ , όπου λ η ρίζα της εξίσωσης (1).
Σχεδιάστε τη γραφική της παράσταση όταν το x παίρνει τιμές που επαληθεύουν την ανίσωση (2).

4. Το σημείο Α(–2, κ) ανήκει στη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης. Υπολογίστε την τιμή του κ.

5. Αν ΑΒ το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα στον άξονα x΄x, βρείτε τις συντεταγμένες του Β.

6. Η γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα Γ και Δ αντίστοιχα. Βρείτε τις συντεταγμένες των Γ, Δ.

7. Αν Ο η αρχή των αξόνων, βρείτε τα εμβαδά των ΔΟΓ και ΑBΟΔ.

8 (ΔΙΟΡΘΩΜΕΝΟ). Αποδείξτε ότι $\displaystyle \widehat{{\rm O}\Gamma \Delta } = \widehat{{\rm O}\Delta {\rm A}}$ . Γράψτε με τι ισούται το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας $\displaystyle \widehat{{\rm O}\Gamma \Delta }$ .

9. Φέρτε τη ΒΔ. Αν $\displaystyle \widehat{\Delta {\rm B}{\rm O}} = \omega$ , βρείτε την εφω.

10. Αν $\displaystyle \widehat{{\rm A}{\rm B}\Delta } = \phi$ αποδείξτε ότι εφφ∙εφω = 1.

11. Γράψτε ως κλάσμα με ρητό παρονομαστή το ημω.

12. Βρείτε την περίμετρο του τριγώνου ΒΓΔ.

13. Με διάμετρο τη ΔΓ κατασκευάζουμε κύκλο C. Αποδείξτε ότι διέρχεται από το Ο.

14. Βρείτε την περίμετρο C και το εμβαδό του κυκλικού του δίσκου.

15. Βρείτε το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται μεταξύ του C και του ΔΟΓ.

16. Ένα μεταβλητό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει δύο πλευρές του ΟΚ και ΟΛ πάνω στις Οx και Οy και έχει σταθερό εμβαδό ίσο με το εμβαδό του ΑΒΟΔ.
Αποδείξτε ότι η τέταρτη κορυφή του Μ(x, y) κινείται σε κλάδο υπερβολής.

17. Έστω $\displaystyle \vec \alpha = \overrightarrow {{\rm B}{\rm O}} ,\;\;\vec \beta = \overrightarrow {{\rm B}{\rm A}}$ . Ποιες σχέσεις συνδέουν τους αριθμούς:
$\displaystyle \left| {\vec \alpha } \right|,\;\left| {\vec \beta } \right|\mu \varepsilon \;\tau \alpha \;\left| {\overrightarrow {{\rm B}\Delta } } \right|,\;\eta \mu \omega ,\;\sigma \upsilon \nu \omega$ ;

18. Σε δύο τμήματα Β΄ Γυμνασίου με 50 μαθητές, που δόθηκαν τα παραπάνω θέματα, καταγράφτηκαν οι εξής βαθμολογίες:
Βαθμοί Αριθμός μαθητών
0 - 4 8
4 – 8 12
8 – 12 14
12 – 16 10
16 – 20 6
Βρείτε τις σχετικές επί τοις εκατό συχνότητες, τη μέση τιμή, τη διάμεσο και κάντε το ιστόγραμμα της κατανομής.

Υ.Γ.
(1) Κάποιες ενότητες είναι εκτός εξεταστέας ύλης, αλλά τις πρόσθεσα για λόγους πληρότητας.
(2) Εννοείται ότι η άσκηση δεν μπορεί να εκληφθεί ως θέμα εξετάσεων, αλλά ως αφορμή για επανάληψη.
(3) Είχα σκεφτεί να βάλω και δυο ερωτήματα από στερεομετρία, ... αλλά η τάξη μας δεν έχει κάγκελα στα παράθυρα και φοβήθηκα μήπως μείνω μόνος

edit: Κάνω μια διόρθωση πού μού υπέδειξε η Γιώτα, την οποία και ευχαριστώ:
στο (8) Δείξτε ότι: $\displaystyle \widehat{{\rm O}\Gamma \Delta } = \widehat{{\rm O}\Delta {\rm A}}$ .
ΠΑΡΑΚΑΛΩ ΔΙΟΡΘΩΣΤΕ και το αρχείο Acrobat...

Γιώτα · #2

Για το πρώτο:
$\frac{\lambda-1}{6}-\frac{4}{6}=\frac{6-4\lambda}{6}-\frac{6}{6}\Rightarrow\frac {\lambda-5}{6}=\frac{6-4\lambda-6}{6}\Rightarrow\frac\lambda-5}{6}=\frac{-4\lambda}{6}\Rightarrow\lambda-5=-4\lambda\Rightarrow-5=\lambda(-4-1)\Rightarrow-5=-5\lambda\Rightarrow\lambda=1$

Γιώτα · #3

Για το δεύτερο:
$-1\leq 2x+3\leq 13\Rightarrow -4\leq 2x\leq 10\Rightarrow -2\leq x\leq 5$

Γιώτα · #4

Για το τρίτο:
λ=1 (1)
y=λx+5 απο τη (1) y=x+5
Αν x=-2 τότε y=3 σημείο A(-2,3)
Αν x=5 τότε y=10 σημείο A_1

(5,10)

Γιώτα · #5

4)
Εφόσον το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση y=x+5

πρέπει να την επαληθεύει,
δηλαδή $\kappa=-2+5=3$ το σημείο είναι το Α(-2,3)

Γιώτα · #6

5)Ολα τα σημεία που βρίσκονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχουν την ίδια τετμημένη επομένως το Β έχει ίδια τετμημένη με το Α που έχει ως τετμημένη το -2.
Το Β βρίσκεται πάνω στον άξονα xx' οπότε έχει τεταγμένη 0 .
Αρα Β(-2,0)

Γιώτα · #7

6)
Το Γ βρίσκεται πάνω στην ευθεία χχ', άρα έχει τεταγμένη 0.
$0=x+5\Rightarrowx=-5$ άρα Γ(-5,0)
Το Δ βρίσκεται πάνω στην ευθεία yy' άρα έχει τετμημένη 0.
y=0+5=5

άρα Δ(0,5)
7)
Το Ε(ΓΟΔ)= $\frac{5\times5}{2}=12,5$
Η ΑΒ $\perp xx'$ άρα ΑΒ $\parallel yy'$ , το ΑΒΟΔ είναι τραπέζιο
Ε(ΑΒΟΔ)= $\frac{(3+5)2}{2}=8$

#8

Να ευχαριστήσω την Γιώτα, μαθήτρια της Β΄ Γυμνασίου για τις όμορφες αναλυτικές απαντήσεις με άψογη διατύπωση και χρήση του LaTex και του Geogebra (!) για τα σχήματα.

Η άσκηση "Μπεν Χουρ" ήταν αποτέλεσμα μιας επιστημονικής "διαφωνίας" τους μαθητές μου, που αμφισβήτησαν το ότι μπορούν να κατασκευαστούν θέματα με ερωτήσεις που να αφορούν πάνω από δύο διαφορετικές ενότητες.

Κατασκεύασα, λοιπόν, το παραπάνω πόνημα που ομολογώ τους ζάλισε λιγάκι όταν το πρωτοείδαν και χλώμιασαν μέχρι να τους εξηγήσω ότι είναι ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΟ, αν και από φιλότιμο σχεδόν όλοι το ζήτησαν.

Αύριο θα δούμε και τα αποτελέσματα...

Εύχομαι στην Γιώτα ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ και ΚΑΛΗ ΠΡΟΟΔΟ.

acno · #9

Στο ερώτημα 8, πώς είναι δυνατόν οι γωνίες ΟΓΔ και ΒΑΔ να είναι ίσες όταν η μία είναι οξεία και η άλλη είναι αμβλεία.

(Εκτός κι αν διαβάζω κάτι λάθος).
Σας ευχαριστώ.

#10

Έχω ήδη κάνει τη διόρθωση του τυπογραφικού λάθους στην παραπάνω ανάρτηση (με κόκκινα γράμματα στο τέλος).

Ευχαριστώ για τη συμμετοχή σας και τις παρατηρήσεις σας! Ελπίζω να σάς άρεσε η προσπάθεια να κάνουμε έναν περίπατο σε όλη (σχεδόν) την ύλη της Β' Γυμνασίου με ένα θέμα (με πολλά ... πλοκάμια).

Γιώτα · #11

8)
Η γωνία $O\hat{\Delta }A$ όπως φαίνεται και στο σχήμα είναι ίση με τη $\Gamma \hat{\Delta }O$ .
Το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ισοσκελές ορθογώνιο στο Ο με ΓΟ=ΟΔ επομένως οι γωνίες $O\hat{\Gamma }\Delta$ και $\Gamma \hat{\Delta }O$ είναι ισες με 45 μοίρες η κάθε μία.Αρα και $O\hat{\Delta }A$ = $O\hat{\Gamma }\Delta=45$ μοίρες
Αρα:
ημ $45=\frac{\sqrt{2}}{2}$
συν $45=\frac{\sqrt{2}}{2}$
εφ 45=1

Γιώτα · #12

9)
εφω= $\frac{5}{2}=2,5$

10)
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΔ ισχύει ότι $\hat{\omega }+B\hat{\Delta }O=90$ .
Η $A\hat{\Delta }B=90-\omega\Rightarrow A\hat{\Delta }B+\omega =90$ εφόσον τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων είναι ισα το ίδιο ισχύει και για τα πρώτα άρα $B\hat{\Delta }O=A\hat{\Delta }B=\varphi$

εφφ= $\frac{2}{5}$

Άρα (εφω)(εφφ)= $\frac{5}{2}\times \frac{2}{5}=1$

ΥΓ:
άρα βγάζουμε και ένα ωραίο συμπέρασμα που μπορούμε να χρησιμοποιούμε από εδώ και πέρα ότι εφω.εφ(90-ω)=1 δηλ. το γινόμενο των εφαπτόμενων δυο συμπληρωματικών γωνιών είναι ισο με 1

11)
ημω= $\frac{5}{B\Delta}$

$B\Delta ^{2}=5^{2}+2^{2}\Rightarrow B\Delta =\sqrt{29}$
επειδή το $\sqrt{29}$ δεν είναι ρητός θα πολλ. και τους δύο όρους του κλασματός με το
$\sqrt{29}$

$\frac{5}{\sqrt{29}}=\frac{5(\sqrt{29})}{29}$
Αρα ημω= $\frac{5(\sqrt{29})}{29}$

Μια Άσκηση μια Τάξη...

Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Re: Μια Άσκηση μια Τάξη...

Μέλη σε σύνδεση