Ανισώσεις

#1

Να λυθούν οι ανισώσεις:

1) $\displaystyle{x>\frac{x}{1006}+\frac{x}{1007}+...+\frac{x}{2010}+\frac{x}{2011}}$

2) $2011x>x\sqrt{1000}+x\sqrt{1001}+x\sqrt{1002}+...+x\sqrt{1063}$

3) $68x>\left(\eta \mu 1^o \right)x+\left(\eta \mu 2^o \right)x+...+\left(\eta \mu 89^o \right)x$

Γιώργος Απόκης · #2

Μιας και την έμαθα... επαναφορά!

parmenides51 · #3

επαναφορά
μιας και είναι οι μόνες άλυτες στο Βulletin Αλγεβρικά Μοτίβο Γυμνασίου
που μόλις βελτίωσα την παρουσίαση τους έτσι ώστε να φαίνεται η πλειοψηφία των εκφωνήσεων χωρίς να ανοίξετε την παραπομπή

Γιώργος Απόκης · #4

Καλημέρα. Μια λύση για το 1)

H ανίσωση γράφεται : $x>\displaystyle{x\left(\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}\right)$ . (1)

Παρατηρούμε ότι : $\displaystyle{\frac{1}{1007}<\frac{1}{1006},~\frac{1}{1008}<\frac{1}{1006},...,\frac{1}{2010}<\frac{1}{1006},~\frac{1}{2011}<\frac{1}{1006}}$ .

Mε πρόσθεση κατά μέλη (το πλήθος των ανισοτήτων είναι : 2011-1007+1=1005

), έχουμε :

$\displaystyle{\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}<1005\cdot \frac{1}{1006}$ . Αν προσθέσουμε στα δύο μέλη το $\displaystyle{\frac{1}{1006}}$ , έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}<\frac{1}{1006}+1005\cdot \frac{1}{1006}=\frac{1006}{1006}=1$ δηλαδή :

$\displaystyle{\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}<1$ .

Αν ονομάσουμε $\displaystyle{a=\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+...+\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}}$ , τότε ισχύει : a<1

άρα

.

H (1) γράφεται :

x>ax

και αφού

έχουμε :

.

Γιώργος Απόκης · #5

Για το 2)

Η ανίσωση γράφεται : $2011x>x(\sqrt{1000}+\sqrt{1001}+\sqrt{1002}+...+\sqrt{1063})$ (1)

Αφού 31^2=961,~32^2=1024

, ισχύουν :

$\sqrt{1000}>31,~\sqrt{1001}>31,...,\sqrt{1023}>31$ και $\sqrt{1024}=32,~\sqrt{1025}>32,\sqrt{1026}>32,...,\sqrt{1063}>32$ .

Mε πρόσθεση κατά μέλη (έχουμε

φορές το

και

φορές το

) :

$\sqrt{1000}+\sqrt{1001}+\sqrt{1002}+...+\sqrt{1063}>24\cdot 31+40\cdot 32=744+1280=2024$ . Δηλαδή, αν ονομάσουμε

$a=\sqrt{1000}+\sqrt{1001}+\sqrt{1002}+...+\sqrt{1063}$ , ισχύει : a>2024

άρα

.

H (1) γράφεται :

2011x>ax

και αφού

, έχουμε : x<0

Γιώργος Απόκης · #6

Για το 3)

Η ανίσωση γράφεται :

$68x>\left(\eta \mu 1^o +\eta \mu 2^o +...+\eta \mu 89^o \right)x$ (1)

Aφού $\displaystyle{\eta \mu 30^o=\frac{1}{2},~\eta \mu 45^o=\frac{\sqrt{2}}{2},~\eta \mu 60^o=\frac{\sqrt{3}}{2},~\eta \mu 90^o=1}$ έχουμε :

$\displaystyle{\eta \mu 1^o<\frac{1}{2},~\eta \mu 2^o<\frac{1}{2},...,\eta \mu 30^o=\frac{1}{2}}$ (

σχέσεις)

$\displaystyle{\eta \mu 31^o<\frac{\sqrt{2}}{2},~\eta \mu 32^o<\frac{\sqrt{2}}{2},...,\eta \mu 45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ (

σχέσεις)

$\displaystyle{\eta \mu 46^o<\frac{\sqrt{3}}{2},~\eta \mu 47^o<\frac{\sqrt{3}}{2},...,\eta \mu 60^o=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ (

σχέσεις)

$\displaystyle{\eta \mu 61^o<1,~\eta \mu 62^o<1,...,\eta \mu 89^o<1}$ (

σχέσεις).

Με πρόσθεση κατά μέλη, έχουμε :

$\displaystyle{\eta \mu 1^o +\eta \mu 2^o +...+\eta \mu 89^o<30\cdot \frac{1}{2}+15\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+29\cdot 1=15+7,5(\sqrt{2}+\sqrt{3})+29=44+7,5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}$

Έχουμε: 1,42^2=2,0164,~1,74^2=3,0276

άρα $\sqrt{2}<1,42,~\sqrt{3}<1,74$ . Eπομένως, η προηγούμενη ανισότητα γίνεται :

$\displaystyle{\eta \mu 1^o +\eta \mu 2^o +...+\eta \mu 89^o<44+7,5(1,42+1,74)=67,7}$ . Αν ονομάσουμε $a=\eta \mu 1^o +\eta \mu 2^o +...+\eta \mu 89^o$ , έχουμε

a<67,7

άρα

.

Η (1) γράφεται :

68x>ax

και αφού

, έχουμε : x>0

.

#7

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Να λυθούν οι ανισώσεις:
3) $68x>\left(\eta \mu 1^o \right)x+\left(\eta \mu 2^o \right)x+...+\left(\eta \mu 89^o \right)x$

Μιας και μας έδειξες τον δρόμο Γιώργο:

Έχουμε:

$\displaystyle{\eta \mu 1 <\eta \mu 30 =\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\eta \mu 2 <\eta \mu 30 =\frac{1}{2}}$

.......................................
......................................
......................................

$\displaystyle{\eta \mu 30=\eta \mu 30 =\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\eta \mu 31 <\eta \mu 45 =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\displaystyle{\eta \mu 32 <\eta \mu 45 =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

........................................
.......................................
......................................

$\displaystyle{\eta \mu 45 <\eta \mu 45 =\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$\displaystyle{\eta \mu 46 <1}$

$\displaystyle{\eta \mu 47 <1}$

.......................................
......................................
......................................

$\displaystyle{\eta \mu 89 <1}$

Mε πρόσθεση κατά μέλη όλων των παραπάνω ανισοτήτων, παίρνουμε:

$\displaystyle{a=\eta \mu 1 +\eta \mu 2 + \cdot \cdot \cdot \eta \mu 89<30.\frac{1}{2}+15.\frac{1}{2}+44.\frac{\sqrt 3}{2}}$

Άρα $\displaystyle{a <\frac{45}{2}+\frac{44\sqrt 3}{2}<\frac{45}{2}+\frac{44.2}{2}=\frac{133}{2}<68}$ . Δηλαδή, $\displaystyle{a<68}$

Τώρα η δοσμένη ανίσωση, γράφεται:

$\displaystyle{68x>ax \Leftrightarrow (68-a)x>0 \mathtop \limits {_{\Longleftrightarrow }^ {a<68}} x>0 }$

Μόλις είδα την απάντηση του Γιώργου.

Αφήνω την λύση για τις μικροδιαφορές που υπάρχουν

#8

Γιώργο και Δημήτρη σας ευχαριστώ πολύ!!!

Ανισώσεις

Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Re: Ανισώσεις

Μέλη σε σύνδεση