Τα τρία τραπέζια!

#1

Υπολογίστε το

στο παρακάτω σχήμα.

: trapezoid.png (69.44 KiB) Προβλήθηκε 1099 φορές

raf616 · #2

Ας δώσω μια απάντηση σ' αυτό το όμορφο πρόβλημα:

Το εμβαδόν του τραπεζίου $ABE\Delta$ είναι: ${E_{ABE\Delta} = \frac{(B + \beta)\upsilon}{2}\Leftrightarrow E_{ABE\Delta} = \frac{(30 + 10)*50}{2}\Leftrightarrow E_{ABE\Delta} = \frac{40 * 50}{2}\Leftrightarrow E_{ABE\Delta} = 1000 cm^2$

Όμως είναι: ${E_{ABE\Delta} = E_{AB\Theta H} + E_{\Theta EHA}$

$E_{AB\Theta H} = \frac{(B + \beta)\upsilon}{2} \Leftrightarrow E_{AB\Theta H} = \frac{(30 + h) * 30}{2} \Leftrightarrow E_{AB\Theta H} = 15(30 + h)$

$E_{\Theta EHA} = \frac{(B + \beta)\upsilon}{2} \Leftrightarrow E_{\Theta EHA} = \frac{(h + 10) * 20}{2} \Leftrightarrow E_{\Theta EHA} = 10(h + 10)$

Άρα: $E_{ABE\Delta} = E_{AB\Theta H} + E_{\Theta EHA} \Leftrightarrow 1000 = 15(30 + h) + 10(h + 10) \Leftrightarrow 1000 = 450 + 15h + 10h + 100 \Leftrightarrow 1000 - 450 - 100 = 25h \Leftrightarrow 25h = 450 \Leftrightarrow h = 18cm$

#3

Και μια λύση ακόμα, με γνώσεις που έχουν οι μαθητές της Β΄ Γυμνασίου.

: 19-04-2013 Β Γυμνασίου.jpg (16.91 KiB) Προβλήθηκε 1029 φορές

Φέρνουμε τις $\displaystyle{EZ,\;\;\Theta {\rm K}}$ κάθετες στις $\displaystyle{\Theta {\rm H},\;{\rm K}{\rm B}}$ αντίστοιχα.

Οι γωνίες $\displaystyle{\widehat {\Theta {\rm E}{\rm Z}},\;\;\widehat {{\rm K}\Theta {\rm B}}}$ είναι ίσες ως εντός, εκτός επί τ' αυτά των $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}//{\rm K}\Theta }$ που τέμνονται από την

. Έστω $\displaystyle{\omega }$ το μέτρο τους.

Είναι $\displaystyle{ZE = 20\;cm,\;\;\Theta {\rm Z} = x,\;\;{\rm K}\Theta = 30\;cm,\;\;KB = y}$

Οπότε $\displaystyle{\varepsilon \varphi {\rm Z}{\rm E}\Theta = \varepsilon \varphi \omega = \frac{{\Theta {\rm Z}}}{{{\rm Z}{\rm E}}} = \frac{x}{{20}},\;\;\varepsilon \varphi {\rm K}\Theta {\rm B} = \varepsilon \varphi \omega = \frac{{{\rm K}{\rm B}}}{{{\rm K}\Theta }} = \frac{y}{{30}}}$

Άρα $\displaystyle{\frac{y}{{30}} = \frac{x}{{20}}}$ ή $\displaystyle{y = \frac{3}{2}x}$

$\displaystyle{AB = 30\;cm\;\;\eta \;\;\;10 + x + y = 30\;cm\;\;\;\;\eta \;\;\;x + \frac{3}{2}x = 20\;cm}$

ή $\displaystyle{\frac{5}{2}x = 20\;cm\;\;\;\eta \;\;\;\;x = 8\;cm}$ Άρα h = 10 + 8 = 18 cm

#4

Σας ευχαριστώ πολύ για τις λύσεις σας!

Ιστοσελίδα · #5

Καλημέρα σας. Μια λύση εκτός φακέλου...

: Τα-τρία-τραπέζια_1.png (7.26 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές

Αν $\Gamma \equiv {\rm A}\Delta \cap {\rm B}{\rm E}$ , τότε από $\vartriangle \Gamma \Delta {\rm E} \approx \vartriangle \Gamma {\rm A}{\rm B} \Rightarrow \displaystyle\frac{{\Gamma \Delta }}{{10}} = \displaystyle\frac{{\Gamma \Delta + 50}}{{30}} \Leftrightarrow \Gamma \Delta = 25\,cm$ και από $\vartriangle \Gamma {\rm H}\Theta \approx \vartriangle \Gamma \Delta {\rm E} \Rightarrow h = \displaystyle\frac{{\Delta {\rm E} \cdot \Gamma {\rm H}}}{{\Gamma \Delta }} = \displaystyle\frac{{10 \cdot 45}}{{25}} = 18\,cm$ .

...και μια εντός.

: Τα-τρία-τραπέζια_2.png (8.96 KiB) Προβλήθηκε 967 φορές

Είναι $({\rm A}{\rm B}{\rm E}\Delta ) = 1000\,c{m^2}$ , $(\Theta {\rm A}{\rm B}) = 450\,c{m^2}$ και $(\Theta \Delta {\rm E}) = 100\,c{m^2}$ , οπότε $450 = (\Theta {\rm A}\Delta ) = \displaystyle\frac{{50h}}{2} \Leftrightarrow h = 18\,cm$ .

Τα τρία τραπέζια!

Τα τρία τραπέζια!

Re: Τα τρία τραπέζια!

Re: Τα τρία τραπέζια!

Re: Τα τρία τραπέζια!

Re: Τα τρία τραπέζια!

Μέλη σε σύνδεση