Ένας ακόμη λόγος

KARKAR · #1

: Ένας ακόμη λόγος.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 521 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

με πλευρές AB=3a

και

. Σημεία

βρίσκονται πάνω στις

πλευρές AB,CD

αντίστοιχα , ώστε AS=CT=a

. Φέρω τμήματα $SP\perp AT$ και $TQ \perp SC$ .

Βρείτε το λόγο των εμβαδών : $\displaystyle \frac{(SPTQ)}{(ABCD)}$ . Δείξτε επίσης ότι : DP=a

leftgavr · #2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Ένας ακόμη λόγος.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο με πλευρές και . Σημεία βρίσκονται πάνω στις

πλευρές αντίστοιχα , ώστε . Φέρω τμήματα $SP\perp AT$ και $TQ \perp SC$ .

Βρείτε το λόγο των εμβαδών : $\displaystyle \frac{(SPTQ)}{(ABCD)}$ . Δείξτε επίσης ότι :

: Καταγραφή.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 481 φορές

(α) $(ABCD)=3a \cdot a=3a^{2}$

$(ATD)=(SBC)=\dfrac{2a \cdot a}{2}=a^{2}$

$(ATD)+(SBC)=2a^{2} \Rightarrow (ASCT)=3a^{2}-2a^{2}=a^{2}$

Τα τρίγωνα $(APS),(TQS): a^{2}=PS^{2}+AP^{2}$

$\epsilon \varphi{\hat{DAT}=\dfrac{2a}{a}=2$ .

$AT \parallel SC \Rightarrow {\hat{PAS}={\hat{CSB}=\varphi$ ως εντός εκτός επί τα αυτά

${\hat{DAP}={\hat{PSA}=180^o-90^o-\varphi=\omega$ .

$\epsilon\varphi{PSA}=\dfrac{AP}{PS}=2 \Rightarrow AP=2PS$ .

$a^{2}=PS^{2}+AP^{2}=PS^{2}+(2PS)^{2} \Rightarrow a^{2}=5PS \Rightarrow a=\sqrt{5}PS \Rightarrow PS=\dfrac{a}{\sqrt{5}}$ .

$(APS)=\dfrac{\dfrac{a\cdot 2a}{\sqrt{5}}}{2}$ .

Άρα $(APS)=\dfrac{2a^{2}}{10}= \dfrac{a^{2}}{5}$ .

$(APS)+(TQC)=\dfrac{2a^{2}}{5}$ .

$(PSQT)=a^{2}-\dfrac{2a^{2}}{5}=\dfrac{3a^{2}}{5}$

$\dfrac{(PSQT)}{(ABCD)}=\dfrac{\dfrac{3a^{2}}{5}}{3a^{2}}=\dfrac{3a^{2}}{15a^{2}}=\dfrac{1}{5}$

(β) $\varphi+\omega=90^o$ .

Προεκτείνουμε την

ώστε να τέμνει την

στο

.
${\hat{EDK}={\hat{PKS}=\theta$ ως εντός εναλλάξ.

Στο τρίγωνο $PSK: 90^o+\varphi+\theta+{\hat{KPS}=180^o$

Στο τρίγωνο $PAS:{\hat{PAS}=\varphi, {\hat{APS}={\hat{PSQ}=90^o, {\hat{QSK}=\varphi \Rightarrow {\hat{SPK}={\hat{PAS}=180^o-90^o-\varphi-\theta=\varphi$

${\hat{SPK}={\hat{EPD}=\vartheta$ ως κατακορυφήν γωνίες.

${\hat{APE}=90^o \Rightarrow {\hat{DPA}=90^o-\varphi=\omega.$ Άρα το τρίγωνο DPA

είναι ισοσκελές με τις DA=DP=a.

Ένας ακόμη λόγος

Ένας ακόμη λόγος

Re: Ένας ακόμη λόγος

Μέλη σε σύνδεση