Βρείτε τη γωνία φ (3)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ με πλευρά

και ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm B}{\rm E}\Delta \,(\widehat {\rm E} = {90^ \circ })$ , με κάθετη πλευρά ${\rm E}\Delta = 2\sqrt 2$ . Φέρω την ${\rm E}\Gamma$ και έστω ${\rm Z}$ το σημείο τομής με την ${\rm B}\Delta$ . Βρείτε τη γωνία ${\rm B}\widehat {\rm Z}\Gamma = \varphi$ .

: φ03.png (57.16 KiB) Προβλήθηκε 1306 φορές

Ιστοσελίδα · #2

Υπόδειξη :

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Με γνώσεις που αποκτιούνται στη Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου:

: 10-11-2010 Geometry.png (81.36 KiB) Προβλήθηκε 1257 φορές

Από Πυθ. Θεώρημα στο ΑΒΔ είναι $\displaystyle B\Delta ^2 = 4^2 + 4^2 = 32\; \Rightarrow \;{\rm B}\Delta = 4\sqrt 2$

Έστω Ο το κέντρο του τετραγώνου, οπότε $\displaystyle {\rm O}{\rm A} = {\rm O}{\rm B} = {\rm O}\Gamma = {\rm O}\Delta = 2\sqrt 2$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΔ η ΕΟ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα ΒΔ, οπότε είναι ίση με το μισό της(*), άρα ΔΟΕ ισόπλευρο.

Επίσης, αφού $\displaystyle {\rm O}{\rm E} = 2\sqrt 2$ , το Ε ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓΔ.

Τότε $\displaystyle \widehat{{\rm Z}\Delta {\rm E}} = 60^\circ$ και $\displaystyle \widehat{{\rm Z}{\rm E}\Delta } = 45^\circ$ , ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε τεταρτοκύκλιο.

Άρα $\displaystyle \phi = \widehat{{\rm E}{\rm Z}\Delta } = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ .

(*) Σχολικό Βιβλίο Γ΄ Γυμνασίου, σελ. 203

Γιώργος Ρίζος

Βρείτε τη γωνία φ (3)

Βρείτε τη γωνία φ (3)

Re: Βρείτε τη γωνία φ (03)

Re: Βρείτε τη γωνία φ (03)

Μέλη σε σύνδεση