Κάποτε θα συμβεί ...

KARKAR · #1

Αν

θετικός ακέραιος , ποια είναι η πιθανότητα η εξίσωση : $\sqrt{x-a}+\sqrt{x+a}=a$ , να έχει ακέραια λύση ;

ΝΟΤΗΣ ΚΟΥΤΣΙΚΑΣ · #2

Υψώνουμε στο τετράγωνο και έχουμε:
$(\sqrt{x+a}+\sqrt{x-a})^{2}=a^{2}$

όπου πρέπει
$x+a\geq 0 x-a\geq 0$

Μετά τις πράξεις βρίσκουμε:

$2x+2\sqrt{(x+a)(x-a)}=a^{2}\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a^{2}-2x$

Τώρα πρέπει να είναι $a^{2}-2x\geq 0\Leftrightarrow x\leq \frac{a^{2}}{2}$

Οπότε ξαναυψώνοντας στο τετράγωνο και λύνοντας την εξίσωση ως προς x βρίσκουμε

$x=\frac{a^{2}+4}{4}$

και για να είναι ακέραιος ο χ θα πρέπει το α να είναι πολλαπλάσιο του 2

Άρα απέδειξα ότι ο α πρέπει να είναι άρτιος.Όμως άρτιοι,είναι το 50% των θετικών ακεραίων.Άρα, υπάρχει πιθανότητα 50%,η εξίσωση να έχει ακέραια λύση

Φιλικά:Νότης

Κάποτε θα συμβεί ...

Κάποτε θα συμβεί ...

Re: Κάποτε θα συμβεί ...

Μέλη σε σύνδεση