Γωνία διαμέσου

KARKAR · #1

Στο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με διάμεσο

, είναι : $\widehat{C}=35^{o} ,\widehat{BAM}=55^{o}$

Υπολογίστε τη γωνία : $\widehat{CAM}$

irakleios · #2

Eπειδή πρίν έδωσα μία λύση που ήταν εσφαλμένη , θα δώσω μια λύση που δεν μου αρέσει καθόλου...

Λοιπόν , φέρνω τις κάθετες ΜΚ και ΜΝ .

Τα κίτρινα τρίγωνα είναι όμοια , τα πράσινα τρίγωνα είναι όμοια .

Για τε εμβαδά θα ισχύουν :

$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{h^2}{x^2}$ και $\frac{E_{4}}{E_{3}} = \frac{h^2}{x^2}$ (1)Επίσης επειδή έχουμε φέρει τη διάμεσο θα ισχύει $E_{1} + E_{3} = E_{2} + E_{4}$ (2)

H (2) χρησιμοποιώντας την (1) δίνει :
$E_{2}\frac{h^2}{x^2} + E_{3} = E_{2} + E_{3}\frac{h^2}{x^2}$ η οποία γράφεται :

$(E_{2} - E_{3})( \frac{h^2}{x^2} - 1) = 0$

άρα $E_{1} = E_{2}$
ή h = x

(αφού είναι θετικά)

Αν h = x

το τρίγωνο είναι ορθογώνιο , άρα $\phi = 35$

Aν $E_{2} = E_{3}$ αυτό σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια , έχουν ίσες υποτείνουσες και ίσα εμβαδά (θέλει απόδειξη (*) )

Αφού είναι ίσα άρα $90 - \phi = 35$ ή

δηλαδή

$\phi = 55$ ή $\phi = 35$ .

Aπόδειξη της (*) απλή.

: Γωνία διαμέσου.png (16.69 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές

Ευχαριστώ τον κύριο p gianno για την επισήμανση.

#3

Προκύπτει δηλαδή από την λύση του Ηράκλειου ότι ... αν η

είναι διάμεσος του ABC

και οι γωνίες BAM

και

είναι συμπληρωματικές ... τότε το ABC

είναι είτε ορθογώνιο στο

είτε ισοσκελές με ίσες τις

και

. (Οι αριθμοί

και

δεν παίζουν κάποιον ειδικό ρόλο.)

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

Ένας άλλος τρόπος λύσης, είναι από τον νόμο των ημιτόνων.

Από το τρίγωνο ABM

έχουμε $\frac{BM}{\eta \mu 55}=\frac{AM}{\eta \mu B}$ (1)

Από το τρίγωνο ACM

έχουμε $\frac{MC}{\eta \mu \phi }=\frac{AM}{\eta \mu 35}$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι

$\frac{\eta \mu \phi }{\eta \mu 35}=\frac{\eta \mu 55}{\eta \mu (90-\phi )}\Rightarrow \frac{\eta \mu \phi }{\eta \mu 35}=\frac{\eta \mu 55}{ \sigma \upsilon \nu \phi }\Rightarrow$

$\eta \mu \varphi \sigma \upsilon \nu \phi =\eta \mu 35\eta \mu 55$ (3)

Αν χρησιμοποιήσουμε ύλη Β Λυκείου, η συνέχεια είναι απλή, αφού

$(3)\Rightarrow \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi =\eta \mu 55\sigma \upsilon \nu 55\Rightarrow \eta \mu 2\phi =\eta \mu 110\Rightarrow 2\phi =110, \eta, 2\phi =70\Rightarrow \phi =55 ,\eta, \phi =35$

Αν όμως θέλουμε η λύση να είναι πάνω σε ύλη της Γ Γυμνασίου, τότε έχουμε:

$(3)\Rightarrow \eta \mu \phi \sigma \upsilon \nu \phi =\eta \mu 35\sigma \upsilon \nu 35\Rightarrow \eta \mu ^{2}\phi \sigma \upsilon \nu ^{2}\phi =\eta \mu ^{2}35\sigma \upsilon \nu ^{2}35\Rightarrow$

$\eta \mu ^{2}\phi (1-\eta \mu ^{2}\phi )=\eta \mu ^{2}35(1-\eta \mu ^{2}35)\Rightarrow \eta \mu ^{4}\phi -\eta \mu ^{2}\phi +\eta \mu ^{2}35-\eta \mu ^{4}35=0$

Θέτουμε $\eta \mu ^{2}\phi =t$ και καταλήγουμε σε τριώνυμο που έχει ρίζες τις

$t_{1}=\eta \mu ^{2}35$

$t_{2}=\sigma \upsilon \nu ^{2}35$

Άρα $\eta \mu \phi =\eta \mu 35\Rightarrow \phi =35$ ή

$\eta \mu \phi =\sigma \upsilon \nu 35\Rightarrow \eta \mu \phi =\eta \mu 55\Rightarrow \phi =55$

(Οι τιμές που βρήκαμε, εύκολα βλέπουμε ότι συμβιβάζονται και οι δύο με το σχήμα)

Γωνία διαμέσου

Γωνία διαμέσου

Re: Γωνία διαμέσου

Re: Γωνία διαμέσου

Re: Γωνία διαμέσου

Μέλη σε σύνδεση