Ποιό είναι το σωστό ;

KARKAR · #1

Αν αναζητήσετε το $\eta \mu 15^{o}$ , σε άλλα βιβλία θα δείτε : $\displaystyle \eta \mu 15^{o}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ και σε άλλα : $\displaystyle \eta \mu 15^{o}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

Ποιό είναι το σωστό ; ( Προτιμητέα η λύση χωρίς "υψώνω στο τετράγωνο" κ.λ.π. )

#2

KARKAR έγραψε:Αν αναζητήσετε το $\eta \mu 15^{o}$ , σε άλλα βιβλία θα δείτε : $\displaystyle \eta \mu 15^{o}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ και σε άλλα : $\displaystyle \eta \mu 15^{o}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$

Ποιό είναι το σωστό ; ( Προτιμητέα η λύση χωρίς "υψώνω στο τετράγωνο" κ.λ.π. )

Φυσικά και τα δύο είναι σωστά! Οι αριθμοί που δίνονται είναι ίσοι.

$\displaystyle{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sqrt{\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{16}}=\sqrt{\frac{\sqrt{6}^2-2\sqrt{6}\sqrt{2}+\sqrt{2}^2}{16}}=\sqrt{\frac{8-2\sqrt{12}}{16}}=\sqrt{\frac{8-4\sqrt{3}}{16}}=\sqrt{\frac{4(2-\sqrt{3})}{16}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$ .

caley-hamilton · #3

Έχουμε $sin(30^{o})=\frac{1}{2}$ . Απ όπου $sin(15^{o})cos(15^{o})=\frac{1}{4}$ ή ισοδύναμα $sin(15^{o}) \sqrt{1-sin^{2}(15^{o})}=\frac{1}{4}$
απ όπου τετραγωνίζοντας και κάνοντας πράξεις στο πρώτο μέλος καταλήγουμε στην εξίσωση
$sin^{2}(15^{o})-sin^{4}(15^{o})=\frac{1}{16}$ .
------------

Θέτουμε λοιπόν $x=sin(15^{o})$ και η εξίσωση τώρα γίνεται $16 x^{2}-16 x^{4}-1=0$ (διτετράγωνη)

Επομένως θέτοντας ξανά αυτή τη φορά $y=x^{2}$ προκύπτει ένα τριώνυμο ως προς

το οποίο έχει ρίζες τις $y_{1,2}=\displaystyle{\frac{2\pm \sqrt{3}}{4}}$ .

Άρα $x_{1,2}=\displaystyle{\frac{\sqrt{2\pm \sqrt{3}}}{2}}$ όπου η λύση $\displaystyle{\frac{\sqrt{2+ \sqrt{3}}}{2}}=0,966=cos(15^{o})$
απορρίπτεται. Διότι αν ήταν $x=sin(15^{o})=cos(15^{o})$ τότε $sin^{2}(15^{o})+cos^{2}(15^{o})=2 {cos^{2}(15^{o})}=1$ $\leftrightarrow$ $cos(15^{o})=\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ .(Άτοπο)

Τελικά και γω τόσο βρίσκω

$x=sin(15^{o})=\displaystyle{\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$ .

Y.Γ:Παραπάνω χρησιμοποιήθηκε ο τύπος sin(2a)=2 sin(a) cos(a)

.

dr.tasos · #4

Λοιπον , και τα δυο σωστα ειναι γιατι $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{{2}}$
$\sqrt{6}-\sqrt{2}=2\sqrt{2-\sqrt{3}$ Τετραγωνιζω :
$(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}=(2\sqrt{2-\sqrt{3})^{2}$ Απο εδω βγαζω αυτο :
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ Τα δυο μελη ειναι ισα γιατι :

$2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ Οποτε και τα δυο ειναι σωστα αφου τουλαχιστον το ενα ειναι σωστο . Παρακαλω διορθωστε με αν εχω καποιο λαθος.

Ποιό είναι το σωστό ;

Ποιό είναι το σωστό ;

Re: Ποιό είναι το σωστό ;

Re: Ποιό είναι το σωστό ;

Re: Ποιό είναι το σωστό ;

Μέλη σε σύνδεση