Είναι μονώνυμο;

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μιχάλης Νάννος » Πέμ. Οκτ. 11, 2012 6:31 pm

Το \displaystyle\frac{{3x}}{5} είναι μονώνυμο. Το \displaystyle\frac{5}{x} δεν είναι μονώνυμο, μια που δεν είναι ακέραια αλγεβρική παράσταση. Το \displaystyle\frac{3}{{\frac{5}{x}}} είναι μονώνυμο;
«Όπου ακούς να τραγουδούν πλησίασε άφοβα. Οι κακοί δεν τραγουδούν ποτέ...» - Γκαίτε
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ. Οκτ. 11, 2012 8:55 pm

Μιχάλη, πραγματικά μας προβλημάτισες...

Το ίδιο θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε και για το αν είναι μονώνυμο η αλγεβρική παράσταση:

\displaystyle{A=x^{-3}y^{5}x^{7}}.

Νομίζω ότι χρειάζεται διευκρίνηση .
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Θανάσης Νικολόπουλος » Πέμ. Οκτ. 11, 2012 9:25 pm

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Το \displaystyle\frac{{3x}}{5} είναι μονώνυμο. Το \displaystyle\frac{5}{x} δεν είναι μονώνυμο, μια που δεν είναι ακέραια αλγεβρική παράσταση. Το \displaystyle\frac{3}{{\frac{5}{x}}} είναι μονώνυμο;


Να ρισκάρω μία απάντηση;

Όταν εξετάζουμε το πεδίο ορισμού συναρτήσεων, μαθαίνουμε βέβαια στα παιδιά ότι πρώτα παίρνουμε τυχόν περιορισμούς από τον τύπο μίας συνάρτησης, όπως αυτός δίνεται στην εκφώνηση, και στη συνέχεια μπορούμε να κάνουμε όποιες απλοποιήσεις προκύπτουν... Το πεδίο ορισμού όμως στο τέλος παραμένει το αρχικό ευρεθέν, καθώς οι τυχόν απλοποιήσεις μετά από πράξεις δεν επηρεάζουν το πεδίο ορισμού που εξαρχής βρήκαμε...

Πχ η συνάρτηση f\left(x \right)=\frac{x^2-1}{x-1} έχει βέβαια πεδίο ορισμού το A=R-\left\{1 \right\} έστω κι αν μετά από πράξεις ο τύπος της μπορεί να γίνει f\left(x \right)=x+1

Με μία παρόμοια λογική, δεν θα πρέπει να κοιτάξουμε πως θα γίνει η παράσταση μετά τις τυχόν πράξεις και απλοποιήσεις, αλλά πως είναι εξαρχής δοσμένη. Και εφόσον η παράσταση περιέχει διαίρεση με διαιρέτη μεταβλητή, δεν υπακούει στον ορισμό που απαιτεί μόνο την πράξη του πολλαπλασιασμού αριθμών και μεταβλητών στην παράσταση. Συνεπώς, ΟΧΙ, δεν είναι μονώνυμο...

σημ: Αν είπα καμιά βλακεία, συγχωρήστε με, γράφω από το κρεβάτι κρυωμένος, καθώς βολτάρω στο mathematica.gr προσπαθώντας να τα βγάλω πέρα με τον πονοκέφαλο και το μπούκωμα :(

σημ2: Με παρόμοιο τρόπο για την δεύτερη παράσταση A=x^{-3}y^{5}x^{7} θα έλεγα ότι εφόσον περιέχει τη δύναμη x^{-3} δηλαδή το κλάσμα \frac{1}{x^3}, και πάλι δεν θα είναι μονώνυμο, έστω και αν κατόπιν πράξεων αποδεικνύεται ίση με την y^5x^4. Δεν είναι το ίδιο πράγμα οι δύο παραστάσεις, αφού πχ δεν ορίζονται για τις ίδιες τιμές των x.
Νικολόπουλος Αθανάσιος
Γυμνάσιο & ΓΕΛ Κατασταρίου Ζακύνθου
Θανάσης Νικολόπουλος
 
Δημοσιεύσεις: 100
Εγγραφή: Σάβ. Σεπ. 18, 2010 11:51 am

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό nik21 » Παρ. Οκτ. 12, 2012 12:54 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Το \displaystyle\frac{{3x}}{5} είναι μονώνυμο. Το \displaystyle\frac{5}{x} δεν είναι μονώνυμο, μια που δεν είναι ακέραια αλγεβρική παράσταση. Το \displaystyle\frac{3}{{\frac{5}{x}}} είναι μονώνυμο;


Καλησπέρα. Γνώμη μου είναι ότι τόσο το \displaystyle\frac{3}{{\frac{5}{x}}} όσο και το \displaystyle{A=x^{-3}y^{5}x^{7}} είναι μονώνυμα. Το πρώτο διότι είναι ίσο με \displaystyle\frac{{3x}}{5} (με τον περιορισμό ότι δεν έχει νόημα η αριθμητική τιμή του για χ = 0) και το δεύτερο διότι είναι ίσο με \displaystyle{A=x^{4}y^{5}} με τον ίδιο περιορισμό.

Αν τα παραπάνω λέγαμε ότι δεν ήταν μονώνυμα, τότε θα μπορούσαμε με παρόμοιο σκεπτικό να πούμε ότι ούτε το \displaystyle{A=x^{2}} είναι, όταν γραφτεί \displaystyle{A=2x^{2}\displaystyle-x^{2} κάτι που φυσικά δεν ισχύει. Για τον ορισμό του σχολικού βιβλίου θα συμφωνήσω όμως ότι δεν είναι σαφής.
nik21
 
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Σάβ. Μάιος 29, 2010 1:31 am
Τοποθεσία: Χαλκίδα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μιχάλης Νάννος » Παρ. Οκτ. 12, 2012 7:02 am

Καλημέρα και σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας. Η απορία γεννήθηκε μέσα στην τάξη, στην προσπάθεια να δώσω παραδείγματα για να καταλάβουν τα παιδιά την έννοια του μονωνύμου (σύμφωνα με τον ορισμό του σχολικού βιβλίου της Γ’ Γυμνασίου σελ. 26).
orismos.jpg
orismos.jpg (14.29 KiB) 1364 προβολές

Ψάχνοντας στο Internet για περισσότερες πληροφορίες, βρήκα το site του συνάδελφου κ. ΜΑΝΙΤΑΡΑ, όπου στις σημειώσεις του (Μαθηματικά – Γ’ Γυμνασίου – Γ_2) υπήρχε ο ακόλουθος ορισμός:
monomial.PNG
monomial.PNG (19.16 KiB) 1364 προβολές

Αναζητώντας τον ορισμό (definition) στην διεθνή βιβλιογραφία βρήκα τα παρακάτω:
monomial_2.jpg
monomial_2.jpg (22.39 KiB) 1364 προβολές

confusions.PNG
confusions.PNG (30.57 KiB) 1364 προβολές

Η απορία ακόμα παραμένει (σίγουρα είναι θέμα ορισμού ή σύμβασης)!
«Όπου ακούς να τραγουδούν πλησίασε άφοβα. Οι κακοί δεν τραγουδούν ποτέ...» - Γκαίτε
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Demetres » Παρ. Οκτ. 12, 2012 7:54 am

Είναι θέμα ορισμού. Στην πανεπιστημιακή αφηρημένη άλγεβρα όμως, θα έλεγα ότι κανένας από τους πιο πάνω ορισμούς που παρέθεσε ο Μιχάλης δεν είναι ικανοποιητικός. Τα υπόλοιπα σχόλια τα βάζω σε απόκρυψη μιας και ξεφεύγουν κατά πολύ από τους στόχους τόσο του γυμνασίου όσο και του λυκείου.

Ένας τρόπος (αλλά όχι ο μόνος) είναι να ξεκινήσουμε με ένα μεταθετικό δακτύλιο R και μετά να ορίσουμε τον δακτύλιο των πολυωνύμων R[x] στο R με μία μεταβλητή ως το σύνολο των ακολουθιών (a_n)_{n=0}^{\infty} ώστε όλα τα a_n να ανήκουν στο R και όλα εκτός από πεπερασμένο αριθμό από αυτά να ισούνται με 0. Το R[x] γίνεται ένας R-δακτύλιος αν ορίσουμε τις πράξεις (a_n) + (b_n) = (a_n+b_n), r(a_n) = (ra_n) και (a_n)(b_n) = (a_0b_0, a_0b_1+a_1b_0,\ldots). Μετά ορίζουμε x = (0,1,0,\ldots) και παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του R[x] μπορεί να γραφτεί στην μορφή a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n για κάποιο n \in \mathbb{N} και κάποια a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{R}. Παρατηρούμε επίσης ότι με τον τρόπο που ορίσαμε τον πολλαπλασιασμό λαμβάνουμε τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων όπως τον γνωρίζουμε.

Το R[x] είναι μάλιστα μεταθετικός δακτύλιος οπότε με την ίδια διαδικασία μπορούμε να ορίσουμε το R[x,y]:=R[x][y] και ομοίως πολυωνυμικούς δακτύλιους περισσοτέρων μεταβλητών. Ένα στοιχείο του R[x_1,\ldots,x_n] ονομάζεται μονώνυμο αν μπορεί να γραφτεί στην μορφή rx_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n} για κάποιο r\in R και κάποια m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{N}.

Με τον πιο πάνω ορισμό εκφράσεις όπως 5x+x είναι όντως μονώνυμα ενώ εκφράσεις όπως \displaystyle{ \frac{3}{\frac{5}{x}}} απλώς δεν έχουν νόημα αφού το 1/x δεν ορίζεται στον δακτύλιο.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 5077
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό propaid » Παρ. Οκτ. 12, 2012 9:19 am

Θα μπορούσαμε ανάλογα να ισχυριστούμε ότι η παράσταση \frac{2}{3}\sqrt{x}y^{3} είναι μονώνυμο;
Γιάννης Στάμου
propaid
 
Δημοσιεύσεις: 137
Εγγραφή: Δευτ. Νοέμ. 23, 2009 4:51 pm

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ. Οκτ. 12, 2012 5:08 pm

propaid έγραψε:Θα μπορούσαμε ανάλογα να ισχυριστούμε ότι η παράσταση \frac{2}{3}\sqrt{x}y^{3} είναι μονώνυμο;
Γιάννης Στάμου


Όχι, η παράσταση αυτή δεν είναι μονώνυμο, αφού το \displaystyle{\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}}
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ. Οκτ. 12, 2012 5:38 pm

Είναι βέβαιο ότι με βάση τον ορισμό που δίνεται στο σχολικό βιβλίο, δεν είναι σαφώς ορισμένο το μονώνυμο.
Γράφει (όπως είπε και ο Μιχάλης) ότι μονώνυμο είναι μία αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΤΗΣ και οι εκθέτες των μεταβλητών είναι φυσικοί αριθμοί.
Έτσι δημιουργείται η (λαθεμένη) εντύπωση, ότι η παράσταση \displaystyle{5+2xy} είναι μονώνυμο, αφού μεταξύ των μεταβλητών της \displaystyle{x ,y}, σημειώνεται μόνο η ΄πράξη του πολλαπλασιασμού.
Ίσως να είχαμε λιγότερες αμφιβολίες αν ορίζαμε το μονώνυμο ως εξής:

Μονώνυμο είναι μια αλγεβρική παράσταση, η οποία μπορεί να γραφεί έτσι ώστε να σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ των μεταβλητών της ή μεταξύ μεταβλητών και σταθερών, και επί πλέον οι εκθέτες των μεταβλητών, να είναι φυσικοί αριθμοί. Επίσης κάθε σταθερός πραγματικός αριθμός, ορίζεται ως μονώνυμο.

Τότε π.χ, η παράσταση:

\displaystyle{(2+\sqrt{3})x^3y } θα ήταν μονώνυμο, αφού ικανοποιεί άμεσα τον ορισμό

Η παράσταση : \displaystyle{5x^3 y+2y(x^3 -1)+2y} θα ήταν μονώνυμο, αφού μπορεί να γραφεί :\displaystyle{7x^3 y}

H παράσταση \displaystyle{\frac{2x^5 y^3}{7x^2}}, θα ήταν μονώνυμο, αφού μπορεί να γραφεί: \displaystyle{\frac{2}{7}.x^3 y^3}, (με \displaystyle{x\neq 0)}

Η παράσταση: \displaystyle{\frac{2}{3}+5^{-7}}, είναι μονώνυμο, αφού είναι μια σταθερά.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Α.Κυριακόπουλος » Παρ. Οκτ. 12, 2012 6:32 pm

Το συνημμένο είναι από τη σελίδα 60 του βιβλίου « ΑΛΓΕΒΡΑ» που είχα γράψει πολλά χρόνια πριν, τότε που έδιναν εξετάσεις από το Γυμνάσιο στο Λύκειο ( σε ένα σημείο γράφω: «…αριθμοί φυσικοί ή 0», γιατί το τότε το σχολικό βιβλίο δεν συμπεριελάμβανε το 0 στους φυσικούς αριθμούς).
Συνημμένα
Μονώνυμα.JPG
Μονώνυμα.JPG (69.93 KiB) 1204 προβολές
Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
 
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ. Ιαν. 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ. Οκτ. 12, 2012 6:56 pm

Αντώνη, καλησπέρα.

Πολύ ωραίος ο ορισμός, που έχεις δώσει για το μονώνυμο, ο οποίος δεν αφήνει αμφιβολίες

Μένει μόνο να έχουμε μια έγκυρη διευκρίνηση, ώστε να ξεκαθαρίσει πλήρως το τοπίο για τα μονώνυμα:

Αν μια παράσταση δεν έχει εξ αρχής την μορφή που έχεις γράψει, αλλά μπορεί να τεθεί στην πιο πάνω μορφή με κάποιους ίσως περιορισμούς για τις μεταβλητές του, τότε πάντα θα είναι μονώνυμο;

Πχ, η παράσταση \displaystyle{A=\frac{5x^4}{y^{-3}}}, η οποία δεν είναι εξ αρχής στην μορφή που δίνει ο ορισμός, αλλά γράφεται

\displaystyle{A=5x^4 y^3} και τώρα έχει την μορφή που θέλουμε, θα μπορούμε να πούμε ότι είναι μονώνυμο; (με y\neq 0)

Θα θέλαμε την άποψή σου, για να μας λυθεί και αυτή η απορία που συχνά αντιμετωπίζουμε στην τάξη (όπως έγραψε και ο Μιχάλης) και απαντάμε κατά την γνώμη μας...
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Τηλέγραφος Κώστας » Παρ. Οκτ. 12, 2012 7:19 pm

Τα μονώνυμα εκφράζουν πολλαπλασιασμό μεταξύ των μεταβλητών και όχι διαίρεση η άλλη πράξη.
Η παράσταση {{x}^{5}}\cdot {{x}^{-3}} έχει την διαίρεση (\frac{1}{{{x}^{3}}})οπότε δεν είναι μονώνυμο.
Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 915
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μιχάλης Νάννος » Παρ. Οκτ. 12, 2012 7:43 pm

Καλησπέρα σας. Θα συμφωνήσω απολύτως με το Δημήτρη ότι θα πρέπει να ξέρουμε ποια σύμβαση ακολουθούμε (κάτι ανάλογο με την προτεραιότητα των πράξεων, π.χ 4 + 3 \cdot 2 = 10 και όχι 14).
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Τα μονώνυμα εκφράζουν πολλαπλασιασμό μεταξύ των μεταβλητών και όχι διαίρεση η άλλη πράξη.
Η παράσταση {{x}^{5}}\cdot {{x}^{-3}} έχει την διαίρεση (\frac{1}{{{x}^{3}}})οπότε δεν είναι μονώνυμο.

Με τη λογική του Κώστα (στην ουσία του ορισμού) η έκφραση 5x + x δεν είναι μονώνυμο, γιατί μεταξύ των μεταβλητών παρεμβάλλεται η πρόσθεση και όχι ο πολλαπλασιασμός, ενώ σύμφωνα με την Πανεπιστημιακή αφηρημένη Άλγεβρα, όπως τεκμηριώνει πιο πάνω ο Δημήτρης, είναι μονώνυμο.

Μην ξεχνάμε τις ασκήσεις του τύπου: Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί \mu ,\nu, ώστε η αλγεβρική παράσταση - 5{x^{\nu  + 2}}{y^3} + 8{x^5}{y^{\mu  - 4}} να είναι μονώνυμο… προϋποθέτει η άσκηση λοιπόν, πως οι δύο όροι θα προστεθούν μεταξύ τους (εξισώνοντας τους αντίστοιχους εκθέτες για να εξασφαλίσουμε ίσα κύρια μέρη) και θα μείνει ένας.

Άρα μελετάμε, αν είναι μονώνυμο, μια έκφραση όπως μας δίνεται ή όπως θα διαμορφωθεί μετά από πράξεις – αναγωγές κ.λ.π;
«Όπου ακούς να τραγουδούν πλησίασε άφοβα. Οι κακοί δεν τραγουδούν ποτέ...» - Γκαίτε
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 2245
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Α.Κυριακόπουλος » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 12:39 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Αντώνη, καλησπέρα.
Πολύ ωραίος ο ορισμός, που έχεις δώσει για το μονώνυμο, ο οποίος δεν αφήνει αμφιβολίες
Μένει μόνο να έχουμε μια έγκυρη διευκρίνηση, ώστε να ξεκαθαρίσει πλήρως το τοπίο για τα μονώνυμα:
Αν μια παράσταση δεν έχει εξ αρχής την μορφή που έχεις γράψει, αλλά μπορεί να τεθεί στην πιο πάνω μορφή με κάποιους ίσως περιορισμούς για τις μεταβλητές του, τότε πάντα θα είναι μονώνυμο;
Πχ, η παράσταση \displaystyle{A=\frac{5x^4}{y^{-3}}}, η οποία δεν είναι εξ αρχής στην μορφή που δίνει ο ορισμός, αλλά γράφεται
\displaystyle{A=5x^4 y^3} και τώρα έχει την μορφή που θέλουμε, θα μπορούμε να πούμε ότι είναι μονώνυμο; (με y\neq 0)
Θα θέλαμε την άποψή σου, για να μας λυθεί και αυτή η απορία που συχνά αντιμετωπίζουμε στην τάξη (όπως έγραψε και ο Μιχάλης) και απαντάμε κατά την γνώμη μας...

Αγαπητέ Δημήτρη.
Είναι γνωστό ότι οι αυστηροί ορισμοί του πολυωνύμου και του μονωνύμου είναι αυτοί που έχει γράψει ο Demetres στο μήνυμά του ( απόκρυψη κείμενου). Οποιαδήποτε απλοποίηση οφείλει να γίνεται με μεγάλη προσοχή ,ώστε να μην παραποιούνται οι έννοιες και τούτο για να μην περνάνε λανθασμένα μηνύματα στους μαθητές. Το x σε ένα πολυώνυμο δεν είναι μια μεταβλητή που παίρνει τιμές από κάποιο προκαθορισμένο σύνολο ( όμοια και τα x,y,…,t σε ένα μονώνυμο κτλ.), όπως σε μια συνάρτηση . Η έννοια του πολυωνύμου δεν ταυτίζεται με την έννοια της συνάρτησης ( σε κάθε πολυώνυμο αντιστοιχίζουμε μια συνάρτηση, η οποία ονομάζεται πολυωνυμική συνάρτηση) . Tο x σε ένα πολυώνυμο ονομάζεται« απροσδιόριστος», σε μια συνάρτηση ονομάζεται «μεταβλητή» (και σε μια εξίσωση ονομάζεται « άγνωστος»).
Όταν έγραφα το βιβλίο «ΑΛΓΕΒΡΑ» ,που αναφέρω στο προηγούμενο μήνυμα μου ( το οποίο απευθύνεται σε μαθητές) , προσπάθησα να μην απομακρυνθώ από την ουσία των αυστηρών ορισμών του πολυωνύμου και του μονωνύμου ( αυτός είναι ο λόγος που έδωσα τον ορισμό του μονωνύμου όπως τον έχω γράψει εκεί). Βέβαια τα x,y,…,t τα ονόμασα « μεταβλητές» για να είμαι σύμφωνος με το σχολικό βιβλίο, αλλά κατέβαλα προσπάθεια ώστε οι μαθητές να καταλάβουν ότι οι έννοιες « πολυώνυμο» και « συνάρτηση» δεν ταυτίζονται. Αυτό γίνεται περισσότερο φανερό από τους διαφορετικούς ορισμούς της ισότητας στις δύο περιπτώσεις (πολυωνύμων και συναρτήσεων που έχω δώσει εκεί ). Οι βασικές ιδιότητες των πολυωνύμων δεν μελετώνται με βάση τις αριθμητικές τιμές τους.
• Ας έλθουμε τώρα στο θέμα που ζητάς τη γνώμη μου.
Οι μεταβλητές σε ένα μονώνυμο μπορούν να αντικατασταθούν με ένα οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ( εκτός αν κάποια μεταβλητή έχει εκθέτει μηδέν, οπότε δεν μπορεί να αντικατασταθεί με το μηδέν). Ένα μονώνυμο καθορίζεται από το συντελεστή του και το κύριο ποσόν του. Δεν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές του ( εκτός από αυτή που αναφέραμε παραπάνω, όταν πρόκειται να βρούμε την αριθμητική τιμή του ). Τα μονώνυμα δεν είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Έτσι, για παράδειγμα, δεν έχει νόημα να πούμε: « Θεωρούμε το μονώνυμο: 5{x^4}{y^3} με y\ne 0» (δεν πρόκειται περί συναρτήσεως με δύο μεταβλητές). Γιατί ,τότε, θα έπρεπε το μονώνυμο: 5{x^4}{y^3} με y\ne 0 να θεωρείται διαφορετικό από το μονώνυμο: 5{x^4}{y^3} , αν και έχουν τον ίδιο συντελεστή και το ίδιο κύριο ποσό. Η αλγεβρική παράσταση: \frac{{5{x^4}}}{{{y^{ - 3}}}} προφανώς δεν είναι ένα μονώνυμο. Το ερώτημα είναι, επειδή ,για τις αριθμητικές τιμές, με y\ne 0, ισχύει: \frac{{5{x^4}}}{{{y^{ - 3}}}} = 5{x^4}{y^3} και το δεύτερο μέλος είναι ένα μονώνυμο, θα μπορούσαμε να πούμε ότι και το πρώτο μέλος είναι ένα μονώνυμο; Η απάντηση είναι: Ούτε το δεύτερο μέλος είναι ένα μονώνυμο, αφού θεωρούμε y\ne 0, όπως εξηγήσαμε παραπάνω ( επαναλαμβάνω δεν πρόκειται περί συναρτήσεων).
Φιλικά.
Αντώνης Κυριακόπουλος
•Ο έξυπνος παραδέχεται •Ο πονηρός δικαιολογείται •Ο βλάκας επιμένει
Άβαταρ μέλους
Α.Κυριακόπουλος
 
Δημοσιεύσεις: 988
Εγγραφή: Κυρ. Ιαν. 04, 2009 9:49 am
Τοποθεσία: ΧΟΛΑΡΓΟΣ

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό exdx » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 8:59 am

Συνεχίζω με κάτι σχετικό

Αντιγράφω από το βιβλίο της Γ΄ Γυμνασίου
"Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο" .
...Παρακάτω στην άσκηση 2β: Ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι 2ου βαθμού ως προς x;

\displaystyle{3{x^2} - 5x - 3{x^2} + 10}

Επίσης από το βιβλίο της Β΄Λυκείου ( Παράγραφος 4.1 Π Ω Λ Υ Ω Ν Υ Μ Α )
Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής:
\displaystyle{P(x) = {{\rm{\alpha }}_\nu }{x^\nu } + {\alpha _{\nu  - 1}}{x^{\nu  - 1}} + ... + {\alpha _1}x + {{\rm{\alpha }}_0}}
όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και \displaystyle{\,\,\,{{\rm{\alpha }}_0},{\alpha _1},...,{{\rm{\alpha }}_\nu }\,\,\,\,\,} είναι πραγματικοί αριθμοί.

Ερώτηση : Το παραπάνω , είναι πολυώνυμο σύμφωνα με αυτούς τους ορισμούς ; Σύμφωνα με τον ορισμό της Γ Γυμνασίου , είναι πολυώνυμο , αλλά ο ίδιος ο ορισμός είναι σωστός ;
Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 718
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό nik21 » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 11:50 am

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Οι μεταβλητές σε ένα μονώνυμο μπορούν να αντικατασταθούν με ένα οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ( εκτός αν κάποια μεταβλητή έχει εκθέτει μηδέν, οπότε δεν μπορεί να αντικατασταθεί με το μηδέν)...
Δεν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές του ( εκτός από αυτή που αναφέραμε παραπάνω, όταν πρόκειται να βρούμε την αριθμητική τιμή του ).


Καλημέρα.
Έχουμε τα μονώνυμα {x^3} και {x^2} και θέλουμε να βρούμε το πηλίκο τους \frac{x^3}{x^2}. Δεν πρέπει να διευκρινήσουμε ότι εφόσον το μονώνυμο {x^2} βρίσκεται στον παρονομαστή ΔΕΝ έχει νόημα η αριθμητική τιμή του για χ=0;
nik21
 
Δημοσιεύσεις: 95
Εγγραφή: Σάβ. Μάιος 29, 2010 1:31 am
Τοποθεσία: Χαλκίδα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 4:32 pm

nik21 έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Οι μεταβλητές σε ένα μονώνυμο μπορούν να αντικατασταθούν με ένα οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ( εκτός αν κάποια μεταβλητή έχει εκθέτει μηδέν, οπότε δεν μπορεί να αντικατασταθεί με το μηδέν)...
Δεν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές του ( εκτός από αυτή που αναφέραμε παραπάνω, όταν πρόκειται να βρούμε την αριθμητική τιμή του ).


Καλημέρα.
Έχουμε τα μονώνυμα {x^3} και {x^2} και θέλουμε να βρούμε το πηλίκο τους \frac{x^3}{x^2}. Δεν πρέπει να διευκρινήσουμε ότι εφόσον το μονώνυμο {x^2} βρίσκεται στον παρονομαστή ΔΕΝ έχει νόημα η αριθμητική τιμή του για χ=0;



Mε βάση την διευκρίνηση που ΄μας δόθηκε από Αντώνη, ναι, θα πρέπει να θέσουμε \displaystyle{x\neq 0}, όμως το αποτέλεσμα που βρίσκουμε, δεν είναι μονώνυμο. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι "μονώνυμο επί μονώνυμο είναι πάντα μονώνυμο", ενώ:
"μονώνυμο διά μονώνυμο, δεν είναι μονώνυμο, εκτός αν ο παρονομαστής, είναι το σταθερό μονώνυμο (\displaystyle{\neq 0})."

Μετά την παρέμβαση του Αντώνη Κυριακόπουλου, νομίζω ότι οι έννοιες τακτοποιήθηκαν και καλό είναι να αναφερθούν κάποτε και στα σχολικά βιβλία, ώστε να μην υπάρχει η σύγχιση που κάθε χρόνο αντιμετωπίζουμε...
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό tsaknakis » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 8:40 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
nik21 έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:
Οι μεταβλητές σε ένα μονώνυμο μπορούν να αντικατασταθούν με ένα οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό ( εκτός αν κάποια μεταβλητή έχει εκθέτει μηδέν, οπότε δεν μπορεί να αντικατασταθεί με το μηδέν)...
Δεν υπάρχουν περιορισμοί για τις μεταβλητές του ( εκτός από αυτή που αναφέραμε παραπάνω, όταν πρόκειται να βρούμε την αριθμητική τιμή του ).


Καλημέρα.
Έχουμε τα μονώνυμα {x^3} και {x^2} και θέλουμε να βρούμε το πηλίκο τους \frac{x^3}{x^2}. Δεν πρέπει να διευκρινήσουμε ότι εφόσον το μονώνυμο {x^2} βρίσκεται στον παρονομαστή ΔΕΝ έχει νόημα η αριθμητική τιμή του για χ=0;



Mε βάση την διευκρίνηση που ΄μας δόθηκε από Αντώνη, ναι, θα πρέπει να θέσουμε \displaystyle{x\neq 0}, όμως το αποτέλεσμα που βρίσκουμε, δεν είναι μονώνυμο. Συμπεραίνουμε λοιπόν, ότι "μονώνυμο επί μονώνυμο είναι πάντα μονώνυμο", ενώ:
"μονώνυμο διά μονώνυμο, δεν είναι μονώνυμο, εκτός αν ο παρονομαστής, είναι το σταθερό μονώνυμο (\displaystyle{\neq 0})."

Μετά την παρέμβαση του Αντώνη Κυριακόπουλου, νομίζω ότι οι έννοιες τακτοποιήθηκαν και καλό είναι να αναφερθούν κάποτε και στα σχολικά βιβλία, ώστε να μην υπάρχει η σύγχιση που κάθε χρόνο αντιμετωπίζουμε...


Δεν υπάρχει λόγος να περιορίσουμε τη διαίρεση μόνο με σταθερά μονώνυμα. αν για παράδειγμα ορίσουμε ως πηλίκο της διαίρεσης ενος μονωνύμου A με ένα μονώνυμο B να είναι το μονώνυμο C (αν φυσικά υπάρχει) τέτοιο ώστε A=B\cdot C, δεν υπάρχει πρόβλημα να γράψεις τη διαίρεση x^7:x^2=x^5
tsaknakis
 
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Δευτ. Νοέμ. 16, 2009 6:57 pm

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Μπάμπης Στεργίου » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 9:13 pm

Διάβασα την ωραία συζήτηση και μου ήρθε αυθόρμητα μια διασκεδαστική ερώτηση.Τη θέτω, απλά χάριν του διαλόγου ,αλλά και διότι θα είχε ίσως κάποιο ενδιαφέρον ως ...'' διδακτικό επεισόδιο '' :

Σε τι αποσκοπεί άραγε να δεχθούμε στον ορισμό του μονωνύμου μονώνυμα της μορφής πχ : x^0y^0z^0 ή ακόμα 2x^2y^3z^0 ;

Μήπως στον ορισμό του μονωνύμου η συνθήκη '' οι εκθέτες είναι φυσικοί '' είναι καλύτερα να γίνει '' οι εκθέτες είναι θετικοί ακέραιοι '' ;
Οι μεταβλητές με μηδενικό εκθέτη δεν φαίνεται να δημιουργούν γενικά πρόβλημα, μας αναγκάζουν όμως να εξαιρούμε για αυτές την τιμή 0 από το ''σύνολο ορισμού'' τους.Θα μου πείτε και τι έγινε !

Έτσι, ενώ στο γινόμενο A=2x^2y^3\cdot 3xy^0=6x^3y^3 το αποτέλεσμα ορίζεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών,θα πρέπει κανονικά να εξαιρεθεί η τιμή y=0 .Τι νόημα έχει λοιπόν να διατηρήσουμε στο δεύτερο μονώνυμο τη μεταβλητη y ; Φαίνεται ότι σε σχολικό επίπεδο τουλάχιστον, μόνο πρόβλημα δημιουργεί !

Επίσης , για την έκφραση 2x^2y^3x^0 τι θα πούμε ; Είναι μονώνυμο ή όχι και τι τιμές μπορεί να πάρουν οι μεταβλητές της ; Προφανώς γράφεται στη μορφή 2x^2y^3 και είναι μονώνυμο με τον τωρινό ορισμό ,αλλά το πεδίο ορισμού αλλάζει ! Θα πει κάποιος ότι αυτό γίνεται και στις συναρτήσεις (f(x)=\frac {x^2}{x}), αλλά εκεί όλα γίνονται με τάξη και συστηματικά .

Έχω βέβαια κάτι στο μυαλό μου ως απάντηση στο ερώτημα που έβαλα - σε πολλά σημεία στα μαθηματικά κάνουμε αντίστοιχα πράγματα χάριν της γενικότητας- αλλά θα ήθελα και την άποψή σας ( έστω και αν είναι διασκεδαστική :) ).

Μπάμπης
(Όπως είπα και στην αρχή, η ..ερώτηση δεν έχει μαθηματικό ενδιαφέρον, αλλά θα μπορούσε και να είχε !)
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 4229
Εγγραφή: Δευτ. Δεκ. 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Είναι μονώνυμο;

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευτ. Οκτ. 15, 2012 10:12 pm

tsaknakis έγραψε:Δεν υπάρχει λόγος να περιορίσουμε τη διαίρεση μόνο με σταθερά μονώνυμα. αν για παράδειγμα ορίσουμε ως πηλίκο της διαίρεσης ενος μονωνύμου A με ένα μονώνυμο B να είναι το μονώνυμο C (αν φυσικά υπάρχει) τέτοιο ώστε A=B\cdot C, δεν υπάρχει πρόβλημα να γράψεις τη διαίρεση x^7:x^2=x^5


Καλησπέρα.

Δεν περιορίζουμε την διαίρεση μόνο με σταθερά μονώνυμα. ΄Μπορούμε φυσικά να έχουμε διαίρεση μονωνύμου διά μονώνυμο, αλλά το αποτέλεσμα της διαίρεσης δεν θα είναι μονώνυμο (με βάση αυτά που έγραψε ο Αντώνης λίγο πιο πάνω),(εκτός αν ο παρονομαστής είναι το μη μηδενικό σταθερό μονώνυμο)

΄
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
 
Δημοσιεύσεις: 3490
Εγγραφή: Τρί. Αύγ. 31, 2010 9:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Επόμενο

Επιστροφή στο Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες