Είναι μονώνυμο;

#21

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:αλλά θα ήθελα και την άποψή σας

Απλά, ορίζουμε 0^0=1

και το πρόβλημα σταματά να υφίσταται. Το έχω ξαναπεί και εδώ.

tsaknakis · #22

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
tsaknakis έγραψε:Δεν υπάρχει λόγος να περιορίσουμε τη διαίρεση μόνο με σταθερά μονώνυμα. αν για παράδειγμα ορίσουμε ως πηλίκο της διαίρεσης ενος μονωνύμου με ένα μονώνυμο να είναι το μονώνυμο (αν φυσικά υπάρχει) τέτοιο ώστε $A=B\cdot C$ , δεν υπάρχει πρόβλημα να γράψεις τη διαίρεση
Καλησπέρα.

Δεν περιορίζουμε την διαίρεση μόνο με σταθερά μονώνυμα. ΄Μπορούμε φυσικά να έχουμε διαίρεση μονωνύμου διά μονώνυμο, αλλά το αποτέλεσμα της διαίρεσης δεν θα είναι μονώνυμο (με βάση αυτά που έγραψε ο Αντώνης λίγο πιο πάνω),(εκτός αν ο παρονομαστής είναι το μη μηδενικό σταθερό μονώνυμο)

΄

Ναι αυτό εννοώ, με τον ορισμό
a:b=c

αν και μόνο αν a=bc

(οπότε

αφού $x^5\cdot x^2=x^7$ )
δεν υπάρχει λόγος να μη δεχτείς το αποτέλεσμα της διαίρεσης ως μονώνυμο.

ο κ Κυριακόπουλος δεν είπε ότι το αποτέλεσμα της διαίρεσης x^7:x^5=x^2

δεν είναι μονώνυμο,αλλά ότι η αλγεβρική παράσταση $\frac{x^7}{x^5}$ δεν είναι μονώνυμο.

Σκεφτείτε τη διαίρεση πολυωνύμων
το πολυώνυμο P(x)=(x^2-4):(x-2)=x+2

ορίζεται για κάθε τιμη του $x \in R$
όμως η αλγεβρική παράσταση $\frac{x^2-4}{x-2}$ ορίζεται για $x\neq2$

#23

Δημήτρη: Στον παρακάτω ορισμό το κόκκινο δεν μου αρέσει , βέβαια δεν υποστηρίζω ότι είναι λάθος .

Το είναι μάλιστα μεταθετικός δακτύλιος οπότε με την ίδια διαδικασία μπορούμε να ορίσουμε το και ομοίως πολυωνυμικούς δακτύλιους περισσοτέρων μεταβλητών. Ένα στοιχείο του $R[x_1,\ldots,x_n]$ ονομάζεται μονώνυμο αν μπορεί να γραφτεί στην μορφή μετα απο πραξεις $rx_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$ για κάποιο $r\in R$ και κάποια $m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{N}$ .

Αν ερμηνεύω σωστά (που μάλλον όχι ) το οποιοδήποτε στοιχείο του $R[x_1,\ldots,x_n]$ μπορεί να γραφτεί σαν $rx_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$ για κάποιο $r\in R$ και κάποια $m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{N}$ είναι μονώνυμο .
Αν είναι έτσι ο ορισμός του μονωνύμου έρχεται μετά τον ορισμού του πολυωνύμου $a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ , μάλλον δεν κατάλαβα καλά, έχω και χρόνια να ασχοληθώ με αυτά .

Μιχάλη

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλησπέρα σας. Θα συμφωνήσω απολύτως με το Δημήτρη ότι θα πρέπει να ξέρουμε ποια σύμβαση ακολουθούμε (κάτι ανάλογο με την προτεραιότητα των πράξεων, π.χ $4 + 3 \cdot 2 = 10$ και όχι ).
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Τα μονώνυμα εκφράζουν πολλαπλασιασμό μεταξύ των μεταβλητών και όχι διαίρεση η άλλη πράξη.
Η παράσταση ${{x}^{5}}\cdot {{x}^{-3}}$ έχει την διαίρεση ( $\frac{1}{{{x}^{3}}}$ )οπότε δεν είναι μονώνυμο.
Με τη λογική του Κώστα (στην ουσία του ορισμού) η έκφραση δεν είναι μονώνυμο, γιατί μεταξύ των μεταβλητών παρεμβάλλεται η πρόσθεση και όχι ο πολλαπλασιασμός, ενώ σύμφωνα με την Πανεπιστημιακή αφηρημένη Άλγεβρα, όπως τεκμηριώνει πιο πάνω ο Δημήτρης, είναι μονώνυμο.

Μην ξεχνάμε τις ασκήσεις του τύπου: Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί $\mu ,\nu$ , ώστε η αλγεβρική παράσταση $- 5{x^{\nu + 2}}{y^3} + 8{x^5}{y^{\mu - 4}}$ να είναι μονώνυμο… προϋποθέτει η άσκηση λοιπόν, πως οι δύο όροι θα προστεθούν μεταξύ τους (εξισώνοντας τους αντίστοιχους εκθέτες για να εξασφαλίσουμε ίσα κύρια μέρη) και θα μείνει ένας.

Άρα μελετάμε, αν είναι μονώνυμο, μια έκφραση όπως μας δίνεται ή όπως θα διαμορφωθεί μετά από πράξεις – αναγωγές κ.λ.π;

Υπάρχει διάφορα στο τη εκφράζουν τα μονώνυμα και σε ποιες πράξεις γίνονται με αυτά .
Το 5x+x είναι πράξη όμοιων μονώνυμων η οποία δίνει μονώνυμο.
Πριν από αυτήν όμως πρέπει να πούμε όσο πιο απλά γίνεται (Για το Γυμνάσιο και Λύκειο ) τι είναι μονώνυμο.
Πριν κάνουμε πράξεις με αυτά .
Ας δώσουμε λοιπόν εναν ορισμό για τα μονώνυμα μια που ασχοληθήκαμε με αυτά, που όμως να είναι κατανοητός από τους μαθητές.

#24

Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Δημήτρη: Στον παρακάτω ορισμό το κόκκινο δεν μου αρέσει , βέβαια δεν υποστηρίζω ότι είναι λάθος .
Το είναι μάλιστα μεταθετικός δακτύλιος οπότε με την ίδια διαδικασία μπορούμε να ορίσουμε το και ομοίως πολυωνυμικούς δακτύλιους περισσοτέρων μεταβλητών. Ένα στοιχείο του $R[x_1,\ldots,x_n]$ ονομάζεται μονώνυμο αν μπορεί να γραφτεί στην μορφή μετα απο πραξεις $rx_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$ για κάποιο $r\in R$ και κάποια $m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{N}$ .
Αν ερμηνεύω σωστά (που μάλλον όχι ) το οποιοδήποτε στοιχείο του $R[x_1,\ldots,x_n]$ μπορεί να γραφτεί σαν $rx_1^{m_1} \cdots x_n^{m_n}$ για κάποιο $r\in R$ και κάποια $m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{N}$ είναι μονώνυμο .
Αν είναι έτσι ο ορισμός του μονωνύμου έρχεται μετά τον ορισμού του πολυωνύμου $a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$ , μάλλον δεν κατάλαβα καλά, έχω και χρόνια να ασχοληθώ με αυτά .

Κώστα σωστά κατάλαβες. Πρώτα ορίζεται το πολυώνυμο και μετά το μονώνυμο. Με αυτήν την προσέγγιση, το γεγονός ότι κάθε πολυώνυμο μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα μονωνύμων είναι πλέον θεώρημα που πρέπει να αποδειχθεί.

Όπως είπα όμως αυτή είναι μία προσέγιση και όχι απαραίτητα η μόνη. Νομίζω όμως πως είναι και η πιο συνηθισμένη. Έχω μπροστά μου τις άλγεβρες των Lang και Hungerford και ουσιαστικά χρησιμοποιούν αυτόν τον ορισμό. (Ο Hungerford διαφοροποιείται λίγο.) Θα προσπαθήσω να ψάξω αργότερα να δω αν υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις που ξεκινούν με πρώτα με τα μονώνυμα και μετά καταλήγουν στα πολυώνυμα.

Είναι μονώνυμο;

Re: Είναι μονώνυμο;

Re: Είναι μονώνυμο;

Re: Είναι μονώνυμο;

Re: Είναι μονώνυμο;

Μέλη σε σύνδεση