Ελάχιστος ... μέγιστος

KARKAR · #1

Α) Βρείτε το πηλίκο $\displaystyle \frac{15^3-15}{7^3-7}$ , χωρίς να χρησιμοποιήσετε τετραψήφιο (ακέραιο) αριθμό .

Β) Αν a , b

είναι δύο περιττοί ακέραιοι , με a>b>1

, ποιός είναι ο ελάχιστος $M.K.\Delta$

των όρων του κλάσματος : $\displaystyle \frac{a^3-a}{b^3-b}$ ?

p_gianno · #2

KARKAR έγραψε:Α) Βρείτε το πηλίκο $\displaystyle \frac{15^3-15}{7^3-7}$ , χωρίς να χρησιμοποιήσετε τετραψήφιο (ακέραιο) αριθμό .

Β) Αν είναι δύο περιττοί ακέραιοι , με , ποιός είναι ο ελάχιστος $M.K.\Delta$

των όρων του κλάσματος : $\displaystyle \frac{a^3-a}{b^3-b}$ ?

Α)

$\displaystyle \frac{15^3-15}{7^3-7} = \frac{15(15^2-1)}{7(7^2-1)} =\frac{15(15-1)(15+1)}{7(7-1)(7+1)} =$

$\displaystyle \frac{14 \cdot 15\cdot 16}{6 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 8 }{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 8}=10$

B)

a^3-a^2=a(a^2-1)=a(a-1)(a+1)

συνεπώς ο αριθμητής είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών

που σημαίνει ότι ακριβώς ένας από αυτούς είναι πολλαπλάσιο του

.

Επειδή

περιττός στο γινόμενο αυτό οι παράγοντες (a-1) ,(a+1)

είναι διαδοχικοί άρτιοι έστω

ο ένας και 2k+2

ο άλλος.

Τότε (a-1)(a+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)=8m

(Αφού ένας εκ των k,k+1

θα είναι άρτιος)

Τελικά το γινόμενο a(a-1)(a+1)

διαιρείται με το

και το

άρα και το

που είναι κοινός διαιρέτης γινομένων(- αριθμών) αυτής της μορφής.

Για a=5

και

προκύπτει το κλάσμα $\frac{120}{24}$ του οποίου οι όροι έχουν ΜΚΔ το

που προφανώς είναι ο ελάχιστος ζητούμενος ΜΚΔ

Ελάχιστος ... μέγιστος

Ελάχιστος ... μέγιστος

Re: Ελάχιστος ... μέγιστος

Μέλη σε σύνδεση