Τριγωνομετρική κορυφή.

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας.
Με τις θερμότερες ευχές μου για ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ προς όλες και όλους τους εορτάζοντες των διακοπών
- ουκ ολίγοι!- ας υποβάλω το παρακάτω ζητούμενο (πρώτη μου δημοσίευση για το 2013):

Να αποδειχθεί για $0^{0}\leq \omega \leq 90^{0}$ ότι ισχύει $\eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega \leq \eta \mu 45^{0}+\sigma \upsilon \nu 45^{0}$

Φιλικά Γιώργος.

#2

Θα δείξουμε κάτι ακόμη ισχυρότερο (για τυχαία γωνία $\omega$ ): Ότι $-\sqrt{2}\leq \sin{\omega}+\cos{\omega}\leq \sqrt{2}$ δηλαδή ότι $|\sin{\omega}+\cos{\omega}|\leq \sqrt{2}$ .

Υψώνοντας στο τετράγωνο (είναι και τα δύο μέλη θετικά - αν θέλουμε να αποδείξουμε την αρχική ανισότητα απλά ακολουθούμε τα βήματα από δω και στο εξής. Έτσι κι αλλιώς και τα δύο μέλη της αρχικής ανισότητας είναι θετικά αφού οι γωνίες βρίσκονται στο πρώτο τεταρτημόριο) έχουμε: $\sin^2{\omega}+\cos^2{\omega}+2\sin{\omega}\cos{\omega}\leq 2$ δηλαδή

$\sin^2{\omega}+\cos^2{\omega}+2\sin{\omega}\cos{\omega}\leq 2\left(\sin^2{\omega}+\cos^2{\omega}\right)$ που γίνεται ισοδύναμα

$\sin^2{\omega}+\cos^2{\omega}-2\sin{\omega}\cos{\omega}\geq 0$ δηλαδή $\left(\sin{\omega}-\cos{\omega}\right)^2\geq 0$ που ισχύει.

Αλέξανδρος

Γιώργος Μήτσιος · #3

Γεια σας.
Κατ΄αρχήν να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για την ιδιαιτέρως κομψή (και με ισχυροποίηση) απόδειξη, με αντίδραση
τέτοια ώστε να ... ζηλέψει κι' η αστραπή!
Με τον ίδιο τρόπο ,αν $\omega \in \left[0,\frac{\pi }{2} \right]$ δείχνουμε και την σχέση: $\eta \mu \omega +\sigma \upsilon\nu \omega \geq 1$
Έβαλα τον περιορισμό στην γωνία , για να δώσω την δυνατότητα για την προβολή και Γεωμετρικών αποδείξεων όπως η παρακάτω:

Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο BE=1

ενώ $AH\perp BE$ . Τότε είναι $\eta \mu \omega =AE ...\sigma \upsilon \nu \omega =AB$ αρκεί συνεπώς να δειχθεί ότι $AE+AB\leq \sqrt{2}$ .

Έχουμε $AE^{2}+AB^{2}=BE^{2}=1 ...2AB.AE=4\left(ABE \right)=2AH.BE\leq 1$ αφού είναι

$AH\leq AO=\frac{1}{2}$ οπότε με πρόσθεση προκύπτει $\left(AE+AB \right)^{2}\leq 2 \Leftrightarrow AB+AE\leq \sqrt{2}$ .

Ειδικά αν $\omega = 0^{0}$ ή $\omega =90^{0}$ τότε $\eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega =1$ .

Φιλικά Γιώργος.

: τριγ. κορυφή.JPG (10.1 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Τριγωνομετρική κορυφή.

Τριγωνομετρική κορυφή.

Re: Τριγωνομετρική κορυφή.

Re: Τριγωνομετρική κορυφή.

Μέλη σε σύνδεση