Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω ὅτι ὁ Γιάννης καί ἡ Μαρία ἀνεβαίνουν τήν ἴδια κυλιόμενη σκάλα, ἡ ὁποία κινεῖται μέ σταθερή ταχύτητα. (Ἐνδέχεται ἡ σκάλα νά ἀνεβαίνει ἤ νά κατεβαίνει).

Ὁ Γιάννης μέτρησε ἀνεβαἰνοντάς την 24 σκαλοπάτια ἐνῶ ἡ Μαρία μέτρησε 32. Δίδεται ὅτι γιά κάθε 3 σκαλοπάτια πού ἀνεβαίνει ὁ Γιάννης, ἡ Μαρία ἀνεβαἰνει μόνο 2 σκαλοπάτια.

Πόσα σκαλοπάτια ἔχει ἡ κυλιόμενη σκάλα;

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Τό πρόβλημα αὐτό ἀποτελεῖ ἀναδιατύπωση τοῦ: viewtopic.php?f=40&t=37501

ealexiou · #2

Έστω

τα σκαλοπάτια της σκάλας και

η “ταχύτητα” της σε χρόνο που ο Γιάννης κάνει

και η Μαρία

. Τα σκαλοπάτια που δεν μετράει ο Γιάννης είναι (A-24)

και τα σκαλοπάτια που δεν μετράει η Μαρία είναι (A-32)

. Εξισώνω τους χρόνους σκαλοπατιών που μετράει ο Γιάννης με τα σκαλοπάτια που δεν μετράει και αντίστοιχα και για την Μαρία.

Γιάννης: $\dfrac{24}{3} = \dfrac{A-24}{X} \Rightarrow X= \dfrac{3(A-24)}{24} \ \ \ (1)$ . Μαρία: $\ \dfrac{32}{2} = \dfrac{A-32}{X} \Rightarrow X= \dfrac{2(A-32)}{32} \ \ \ (2)$

(1)

και $(2) \Rightarrow$ $\dfrac{3(A-24)}{24}= \dfrac{2(A-32)}{32} \Rightarrow A=16$

(1)

: $X= \dfrac{3(16-24)}{24} \Rightarrow X=-1$ , $\ (2)$ : $X= \dfrac{2(16-32)}{32} \Rightarrow X=-1$ .

Συνεπώς η σκάλα έχει

σκαλοπάτια και κατεβαίνει ( X=-1

)

(Το ότι η σκάλα κατεβαίνει φαίνεται από τα δεδομένα, αφού η Μαρία μετράει περισσότερα σκαλοπάτια με μικρότερη “ταχύτητα” έπεται ότι η σκάλα κινείται αντίθετα, ενώ αν η φορά της ήταν ίδια με το παιδιών, η Μαρία (με την μικρότερη “ταχύτητα”) θα μετρούσε λιγότερα από τον Γιάννη.)

abgd · #3

Λίγο διαφορετικά και πιο αναλυτικά...
Θεωρούμε μονάδα του χρόνου το χρόνο στον οποίο ο Γιάννης κάνει

σκαλοπάτια. Ας συμβολίσουμε αυτή τη μονάδα με

Η ταχύτητα του Γιάννη είναι:

σκαλοπάτια/

Η ταχύτητα της Μαρίας είναι

σκαλοπάτια/

Η ταχύτητα της σκάλας είναι

σκαλοπάτια/

Ο χρόνος που χρειάζεται ο Γιάννης για να ανέβει τη σκάλα είναι

και ο χρόνος που χρειάζεται η Μαρία είναι 16s

Αν

τα σκαλοπάτια της σκάλας τότε:
Στα

τα σκαλοπάτια που κάνει ο Γιάννης είναι

και τα σκαλοπάτια που κάνει η σκάλα είναι

. Σύνολο

Στα

τα σκαλοπάτια που κάνει η Μαρία είναι

και τα σκαλοπάτια που κάνει η σκάλα είναι 16v

. Σύνολο

Άρα

Από τη σχέση αυτή εύκολα προκύπτει $v=-1, \ \ x=16$

ealexiou · #4

ealexiou έγραψε:Έστω τα σκαλοπάτια της σκάλας και η “ταχύτητα” της σε χρόνο που ο Γιάννης κάνει και η Μαρία . Τα σκαλοπάτια που δεν μετράει ο Γιάννης είναι και τα σκαλοπάτια που δεν μετράει η Μαρία είναι . Εξισώνω τους χρόνους σκαλοπατιών που μετράει ο Γιάννης με τα σκαλοπάτια που δεν μετράει και αντίστοιχα και για την Μαρία.

Γιάννης: $\dfrac{24}{3} = \dfrac{A-24}{X} \Rightarrow X= \dfrac{3(A-24)}{24} \ \ \ (1)$ . Μαρία: $\ \dfrac{32}{2} = \dfrac{A-32}{X} \Rightarrow X= \dfrac{2(A-32)}{32} \ \ \ (2)$

Να το κάνουμε έτι περαιτέρω αναλυτικό.
Στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ισχύει: $S= \upsilon t \Leftrightarrow \upsilon = \dfrac{S}{t} \Leftrightarrow t= \dfrac{S}{\upsilon}$ . Όποια από τις τρεις αυτές σχέσεις πάρουμε, ένα και το αυτό.
Στις εξισώσεις (1)

και

εξισώνω τον χρόνο που κάνει ο Γιάννης για να ανέβει με τον χρόνο που κάνουν τα επιπλέον σκαλοπάτια που μετράει (1)

και αντίστοιχα για την Μαρία (2)

.
Ας δούμε πόσο εύκολα πάμε από τους ίσους χρόνους στα ίσα διαστήματα, δηλαδή στα σκαλοπάτια της σκάλας όταν δεν κινείται και που είναι τα ίδια και για τα δύο παιδιά.

(1)

$\dfrac{24}{3} = \dfrac{A-24}{X} \Leftrightarrow 24X=3(A-24) \Leftrightarrow 8X+24=A$

(2)

$\dfrac{32}{2} = \dfrac{A-32}{X} \Leftrightarrow 32X=2(A-32) \Leftrightarrow 16X+32=A$

Συνεπώς 24+8X=32+16X

και αν την ταχύτητα της σκάλας αντί

την είχαμε ονομάσει $\upsilon$ η εξίσωση θα ήταν:

$24+8\upsilon=32+16\upsilon$

Επίσης τις εξισώσεις (1)

και

μπορούμε να τις λύσουμε ως προς

, την ταχύτητα των σκαλοπατιών που είναι ίδια και για τα δύο παιδιά.

$X= \dfrac{A-24}{8} =\dfrac{A-32}{16}\Leftrightarrow A=16$

#5

Aς δοκιμάσω μια σκέψη:

Όταν ο Γιάννης μετρήσει τα 24 σκαλοπάτια, η Μαρία έχει μετρήσει 16, επομένως βρίσκεται στο μέσον της σκάλας ( αφού τελικά μετράει 32 σκαλοπάτια). Αλλά η διαφορά τους είναι 24-16=8 σκαλοπάτια, επομένως η μισή σκάλα είναι 8 σκαλοπάτια και ολόκληρη είναι 16 σκαλοπάτια.

Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Re: Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Re: Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Re: Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Re: Κυλιόμενη σκάλα - ἀναδιατυπωμένο

Μέλη σε σύνδεση