Διαδοχικά τετράγωνα φυσικών

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Απάντηση
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1513
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Παύλος Μαραγκουδάκης

Διαδοχικά τετράγωνα φυσικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Νοέμ 30, 2013 8:55 pm

Oι a,b,c είναι τρεις θετικοί ακέραιοι ώστε οι a+c,b+c να είναι τα τετράγωνα δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι οι ab+c,ab+a+b+c είναι επίσης τετράγωνα δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
chris_gatos
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6962
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
Τοποθεσία: Ανθούπολη

Re: Διαδοχικά τετράγωνα φυσικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris_gatos » Σάβ Νοέμ 30, 2013 10:03 pm

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Oι a,b,c είναι τρεις θετικοί ακέραιοι ώστε οι a+c,b+c να είναι τα τετράγωνα δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι οι ab+c,ab+a+b+c είναι επίσης τετράγωνα δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών.
Καλησπέρα Παύλο.
Έστω: a+c=k^2 και b+c=(k+1)^2, k \in \mathbb{Z}.

Τότε b-a=2k+1 \Rightarrow b=a+2k+1.

Έχω ab+c=a^2+2ak+a+c=a^2+2ak+a+k^2-a^2=(a+k)^2.

Είναι

ab+a+b+c=(a+k)^2+b+a=(a+k)^2+a+2k+1+a=a^2+k^2+1+2ak+2k+2a=(a+k+1)^2.

Το ζητούμενο τώρα έχει αποδειχθεί αφού a+k,a+k+1 είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί.


Χρήστος Κυριαζής
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες