- Τραπέζιο που γέρνει.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές
Τραπέζιο που γέρνει
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Από Π.Θ στα και παίρνουμε αντίστοιχα τις σχέσεις:KARKAR έγραψε:Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .
Ακόμα, ισχύει:
Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην είναι:
Λόγω της όμως η τελευταία γίνεται:
Αντικαθιστώντας στην έχουμε:
Εύκολα τώρα, από τον τύπο του εμβαδού τραπεζίου έχουμε:
Επομένως, το ζητούμενο βρέθηκε.
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Καλημέρα σας. Αν φέρουμε , τότε από τον τύπο του Ήρωνα ( ημιπερίμετρος) παίρνουμε καιKARKAR έγραψε:Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Προφανώς στη Σαλαμίνα οι μαθητές διδάσκονται τον τύπο του Ήρωνα στο Γυμνάσιο ( Καλημέρα Μιχάλη ! )
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Το καλύτερο το είπε τηλεφωνικά ο Κώστας ο Βήττας...Μιχάλη, στη Σαλαμίνα οι μαθητές Γυμνασίου κάνουν συζυγή αρμονικά;
Καλημέρα και πάλι.
Καλημέρα και πάλι.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Στο σχήμα του Μιχάλη πιο πάνω, ας είναι η προβολή του επί της και έστω
Από το ορθογώνιο τρίγωνο , σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε
Ομοίως, από το ορθογώνιο τρίγωνο , έχουμε
Από με αφαίρεση κατά μέλη, έχουμε
Από με πράξεις προκύπτει
Εύκολα τώρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο υπολογίζουμε το το οποίο ταυτίζεται με το ύψος του δοσμένου τραπεζίου
Πράγματι, ισχύει
Από και και και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
Κώστας Βήττας.
Από το ορθογώνιο τρίγωνο , σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε
Ομοίως, από το ορθογώνιο τρίγωνο , έχουμε
Από με αφαίρεση κατά μέλη, έχουμε
Από με πράξεις προκύπτει
Εύκολα τώρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο υπολογίζουμε το το οποίο ταυτίζεται με το ύψος του δοσμένου τραπεζίου
Πράγματι, ισχύει
Από και και και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.
Κώστας Βήττας.
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Και μια εφαρμογή των ομοίων τριγώνων μαζί με τον ξεχασμένο Ήρωνα.KARKAR έγραψε:Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .
Θεωρούμε τις προεκτάσεις των οι οποίες ορίζουν το σημείο .
Αν θέσουμε τις και τότε από την ομοιότητα των τριγώνων
και όπως φαίνεται από τις πράξεις στο ανωτέρω σχήμα θα είναι:
Εφαρμόζοντας τον τύπο του Ήρωνα:
στα δύο αυτά τρίγωνα βρίσκουμε:
και
Επομένως η διαφορά αυτών δίνει:
Οι πράξεις με τον τύπο του Ήρωνα έγιναν απ' ευθείας από το CAS του Geogebra.
Κώστας Δόρτσιος
- Ηλιας Φραγκάκος
- Δημοσιεύσεις: 512
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 13, 2013 11:40 pm
- Τοποθεσία: Χανιά Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Τραπέζιο που γέρνει
Στο τρ. η υποτείνουσα είναι άρα το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων είναι
Στο τρ. η υποτείνουσα είναι , άρα το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων είναι .
Τα τρίγ. έχουν κοινό ύψος, οπότε η διαφορά του από το είναι . Η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών είναι ίση με το διπλάσιο του μικρότερου συν , άρα περιττός αριθμός. Οπότε η διαφορά του από το είναι ζυγός. Παίρνουμε λοιπόν την περίπτωση να είναι .
Άρα έχουμε δύο άσσους και . Συνεπάγεται, .
Άρα το είναι . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το τετράγωνο του ύψους του τριγώνου και του τραπεζίου είναι . Άρα το ύψος του τραπεζίου είναι ρίζα , δηλαδή . Αν κάποιος έμπειρος έχει να παρατηρήσει κάτι σε αυτή τη λύση, η παρατήρησή του είναι ευπρόσδεκτη και τον ευχαριστώ.
Στο τρ. η υποτείνουσα είναι , άρα το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων είναι .
Τα τρίγ. έχουν κοινό ύψος, οπότε η διαφορά του από το είναι . Η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών είναι ίση με το διπλάσιο του μικρότερου συν , άρα περιττός αριθμός. Οπότε η διαφορά του από το είναι ζυγός. Παίρνουμε λοιπόν την περίπτωση να είναι .
Άρα έχουμε δύο άσσους και . Συνεπάγεται, .
Άρα το είναι . Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το τετράγωνο του ύψους του τριγώνου και του τραπεζίου είναι . Άρα το ύψος του τραπεζίου είναι ρίζα , δηλαδή . Αν κάποιος έμπειρος έχει να παρατηρήσει κάτι σε αυτή τη λύση, η παρατήρησή του είναι ευπρόσδεκτη και τον ευχαριστώ.
- Συνημμένα
-
- png02012014.png (4.16 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
" Ή ταν, ή τα παρατάν " Είπε ο Λεωνίδας με τα λίγα Περσικά του και ίδρυσε το σύλλογο προς διάδοση της Ελληνοτουρκικής Φιλίας με το διακριτικό τίτλο "Νικηταράς ο Τουρκοφάγος"
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες