Τραπέζιο που γέρνει

KARKAR · #1

: Τραπέζιο που γέρνει.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABCD

.

raf616 · #2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Τραπέζιο που γέρνει.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

: Τραπέζιο - Χρήστος.png (8.86 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Από Π.Θ στα $\overset{\triangle}{EAD}$ και $\overset{\triangle}{BCZ}$ παίρνουμε αντίστοιχα τις σχέσεις:

$y^2 + z^2 = 6.5^2 \Leftrightarrow \boxed{y^2 + z^2 = 42.25}:(1)$

$x^2 + z^2 = 7.5^2 \Leftrightarrow \boxed{x^2 + z^2 = 56.25}:(2)$

Ακόμα, ισχύει:

$5 + x = 7 + y \Leftrightarrow x = y + 2$

Αντικαθιστώντας την παραπάνω στην (2)

είναι:

$x^2 + z^2 = 56.25 \Leftrightarrow (y + 2)^2 + z^2 = 56.25 \Leftrightarrow y^2 + 4y + z^2 = 52.25$

Λόγω της (1)

όμως η τελευταία γίνεται:

$y^2 + 4y + 42.25 - y^2 = 52.25 \Leftrightarrow 4y = 10 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{2}$

Αντικαθιστώντας στην (1)

έχουμε:

$y^2 + z^2 = 42.25 \Leftrightarrow z^2 = 42.25 - \dfrac{25}{4} \Leftrightarrow z^2 = \dfrac{144}{4} \Leftrightarrow z = 6$

Εύκολα τώρα, από τον τύπο του εμβαδού τραπεζίου έχουμε:

$E = \dfrac{(b + B)h}{2} = \dfrac{(7 + 5) \cdot 6}{2} = 3 \cdot 12 = 36$

Επομένως, το ζητούμενο βρέθηκε.

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε:Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Καλημέρα σας.

: Τραπέζιο-που-γέρνει.jpg (15.96 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Αν φέρουμε $CE\parallel DA$ , τότε από τον τύπο του Ήρωνα ( $E = \sqrt {t(t - a)(t - b)(t - c)} ,\,t:$ ημιπερίμετρος) παίρνουμε $(CEB) = 6 = \dfrac{{2\upsilon }}{2} \Rightarrow \upsilon = 6$ και $\left( {ABCD} \right) = \dfrac{{6(7 + 5)}}{2} = 36\,\tau .\mu .$

KARKAR · #4

Προφανώς στη Σαλαμίνα οι μαθητές διδάσκονται τον τύπο του Ήρωνα στο Γυμνάσιο

( Καλημέρα Μιχάλη ! )

Ιστοσελίδα · #5

Το καλύτερο το είπε τηλεφωνικά ο Κώστας ο Βήττας...Μιχάλη, στη Σαλαμίνα οι μαθητές Γυμνασίου κάνουν συζυγή αρμονικά;

Καλημέρα και πάλι.

#6

Στο σχήμα του Μιχάλη πιο πάνω, ας είναι

η προβολή του

επί της

και έστω

Από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ZBC$ , σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε $(BC)^{2} - (CZ)^{2} = (x + 2)^{2}\ \ \ ,(1)$

Ομοίως, από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ZEC$ , έχουμε $(EC)^{2} - (CZ)^{2} = x^{2}\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2),$ με αφαίρεση κατά μέλη, έχουμε $(BC)^{2} - (EC)^{2} = (X + 2)^{2} - x^{2}$ $\Rightarrow$ $7,5^{2} - 6,5^{2} = x^{2} + 4x + 4 - x^{2} = 4x + 4\ \ \ ,(3)$

Από (3)

με πράξεις προκύπτει $\displaystyle x = \frac{56,25 - 42,25 - 4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\ \ \ ,(4)$

Εύκολα τώρα, από το ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ZEC,$ υπολογίζουμε το

το οποίο ταυτίζεται με το ύψος του δοσμένου τραπεζίου ABCD.

Πράγματι, ισχύει $(CZ)^{2} = (EC)^{2} - (EZ)^{2} = 6,5^{2} - 2,5^{2} = 36$ $\Rightarrow$ $CZ = 6\ \ \ ,(5)$

Από (5)

και

$\Rightarrow$ $\displaystyle (ABCD) = \frac{(AB + CD)}{2}\cdot (CZ) = \frac{7 + 5}{2}\cdot 6 = 36$ και το ζητούμενο έχει υπολογιστεί.

Κώστας Βήττας.

#7

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Τραπέζιο που γέρνει.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου .

Και μια εφαρμογή των ομοίων τριγώνων μαζί με τον ξεχασμένο Ήρωνα.

: Ηρωνας 1.PNG (27.69 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Θεωρούμε τις προεκτάσεις των $\displaystyle{AD, BC}$ οι οποίες ορίζουν το σημείο $\displaystyle{O}$ .

Αν θέσουμε τις $\displaystyle{OD=x}$ και $\displaystyle{OC=y}$ τότε από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{ABO, DCO}$

και όπως φαίνεται από τις πράξεις στο ανωτέρω σχήμα θα είναι: $\displaystyle{x=16.25,\ \ y=18.75}$

Εφαρμόζοντας τον τύπο του Ήρωνα: $\displaystyle E=\sqrt{\tau \left(\tau -a \right)\left(\tau -b \right)(\tau -c )\right) }$

στα δύο αυτά τρίγωνα βρίσκουμε:

$\displaystyle{E(OAB)=\frac{147}{2}}$ και $\displaystyle{E(DCO)=\frac{75}{2}}$

Επομένως η διαφορά αυτών δίνει:

$\displaystyle{E(ABCD)=36}$

Οι πράξεις με τον τύπο του Ήρωνα έγιναν απ' ευθείας από το CAS του Geogebra.

Κώστας Δόρτσιος

Ηλιας Φραγκάκος · #8

Στο τρ.

η υποτείνουσα είναι 7,5

άρα το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων είναι 56,25

Στο τρ.

η υποτείνουσα είναι 6,5

, άρα το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων είναι 42,25

.
Τα τρίγ. έχουν κοινό ύψος, οπότε η διαφορά του

από το

είναι

. Η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών είναι ίση με το διπλάσιο του μικρότερου συν

, άρα περιττός αριθμός. Οπότε η διαφορά του

από το

είναι ζυγός. Παίρνουμε λοιπόν την περίπτωση να είναι

.
Άρα έχουμε δύο άσσους και 2x+2(x+1)=4x+2+2=4x+4=14

. Συνεπάγεται, x=2.5

.
Άρα το

είναι

. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το τετράγωνο του ύψους του τριγώνου και του τραπεζίου είναι 42,25-6,25=36

. Άρα το ύψος του τραπεζίου είναι ρίζα

, δηλαδή

. Αν κάποιος έμπειρος έχει να παρατηρήσει κάτι σε αυτή τη λύση, η παρατήρησή του είναι ευπρόσδεκτη και τον ευχαριστώ.

Τραπέζιο που γέρνει

Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Re: Τραπέζιο που γέρνει

Μέλη σε σύνδεση