Μπορούμε κι' εμείς !
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Μπορούμε κι' εμείς !
Καλησπέρα.
Ας αντιμετωπίσουμε το παρακάτω σύστημα :
Αν είναι και
όπου
Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών και .
Το σύστημα αυτό λύθηκε σε άλλο Θέμα και με χρήση τριγωνομετρίας
που , ως γνωστόν , δεν διδάσκεται πλέον στο Λύκειο ...
Αφού λοιπόν δεν έχουμε ... ως μαθητές Λυκείου τα κατάλληλα τριγωνομετρικά εργαλεία ...
ας '' ξαναγίνουμε '' μαθητές Γυμνασίου και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε
με τα Μαθηματικά του σχολείου μας !
Έχω την αίσθηση πως μπορούμε !
Φιλικά Γιώργος.
Ας αντιμετωπίσουμε το παρακάτω σύστημα :
Αν είναι και
όπου
Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών και .
Το σύστημα αυτό λύθηκε σε άλλο Θέμα και με χρήση τριγωνομετρίας
που , ως γνωστόν , δεν διδάσκεται πλέον στο Λύκειο ...
Αφού λοιπόν δεν έχουμε ... ως μαθητές Λυκείου τα κατάλληλα τριγωνομετρικά εργαλεία ...
ας '' ξαναγίνουμε '' μαθητές Γυμνασίου και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε
με τα Μαθηματικά του σχολείου μας !
Έχω την αίσθηση πως μπορούμε !
Φιλικά Γιώργος.
Re: Μπορούμε κι' εμείς !
Καλησπέρα Γιώργο μια άποψη αλλά δεν ξέρω αν είναι δεκτή λόγω φακέλου .Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλησπέρα.
Ας αντιμετωπίσουμε το παρακάτω σύστημα :
Αν είναι και
όπου
Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών και .
Το σύστημα αυτό λύθηκε σε άλλο Θέμα και με χρήση τριγωνομετρίας
που , ως γνωστόν , δεν διδάσκεται πλέον στο Λύκειο ...
Αφού λοιπόν δεν έχουμε ... ως μαθητές Λυκείου τα κατάλληλα τριγωνομετρικά εργαλεία ...
ας '' ξαναγίνουμε '' μαθητές Γυμνασίου και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε
με τα Μαθηματικά του σχολείου μας !
Έχω την αίσθηση πως μπορούμε !
Φιλικά Γιώργος.
Έστω επίκεντρη γωνία , σε κύκλο Θα είναι .
Σημείο κινείται ανάμεσα στα πάνω στη χορδή . Έστω
κάθετες στην ευθεία . Προφανώς . Το «» το
έχουμε αν τα ταυτιστούν με το μέσο του . Τότε .
Φιλικά Νίκος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Μπορούμε κι' εμείς !
Καλησπέρα. Μια λύση με ύλη που περιέχεται στο βιβλίο της Γ΄ Γυμνασίου, αλλά δεν διδάσκεται.
Εννοείται ότι η παραπάνω προσέγγιση θεωρώ ότι είναι εκτός των δυνατοτήτων των μαθητών του Γυμνασίου, εκτός από τυχόν λαμπρές εξαιρέσεις.
Για το Λύκειο τη θεωρώ καλή, αν κάποτε επανέλθουν οι απαγορευμένοι Νόμοι...
Παίρνουμε ισοσκελές τρίγωνο με και , οπότε
Έστω σημείο στη , ώστε , για τις οποίες είναι
Τότε από Νόμο Ημιτόνων στα είναι
και
Οπότε
Όμως, από Ν. Συνημιτόνων στο είναι
Οπότε η σχέση γράφεται
Εννοείται ότι η παραπάνω προσέγγιση θεωρώ ότι είναι εκτός των δυνατοτήτων των μαθητών του Γυμνασίου, εκτός από τυχόν λαμπρές εξαιρέσεις.
Για το Λύκειο τη θεωρώ καλή, αν κάποτε επανέλθουν οι απαγορευμένοι Νόμοι...
Παίρνουμε ισοσκελές τρίγωνο με και , οπότε
Έστω σημείο στη , ώστε , για τις οποίες είναι
Τότε από Νόμο Ημιτόνων στα είναι
και
Οπότε
Όμως, από Ν. Συνημιτόνων στο είναι
Οπότε η σχέση γράφεται
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Μπορούμε κι' εμείς !
Καλησπέρα σε όλους.Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλησπέρα.
Ας αντιμετωπίσουμε το παρακάτω σύστημα :
Αν είναι και
όπου
Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών και .
Το σύστημα αυτό λύθηκε σε άλλο Θέμα και με χρήση τριγωνομετρίας
που , ως γνωστόν , δεν διδάσκεται πλέον στο Λύκειο ...
Αφού λοιπόν δεν έχουμε ... ως μαθητές Λυκείου τα κατάλληλα τριγωνομετρικά εργαλεία ...
ας '' ξαναγίνουμε '' μαθητές Γυμνασίου και ας προσπαθήσουμε να το λύσουμε
με τα Μαθηματικά του σχολείου μας !
Έχω την αίσθηση πως μπορούμε !
Φιλικά Γιώργος.
Μία προσέγγιση με ύλη Γ' Γυμνασίου. Θεωρώ όμως ότι, πλην ελαχίστων εξαιρέσεων, δεν αντιμετωπίζεται από μαθητές Γ' Γυμνασίου.
Κατασκευάζω το ισοσκελές τρίγωνο -όπως και ο Γιώργος πιο πάνω-με , και σημείο επί της , ώστε:
Φέρνω την κάθετη στη και τις κάθετες στην .
Επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές το θα είναι μέσο της .
(ως εντός εναλλάξ)
Αφού , τότε , οπότε και
(Με άλλα λόγια, τα σημεία συμπίπτουν).
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Μπορούμε κι' εμείς !
Καλημέρα.
Νίκο , Γιώργο , και Γιώργο σας ευχαριστώ για την συμμετοχή και τις απαντήσεις .
Συμφωνώ , βεβαίως ως προς τον βαθμό δυσκολίας του θέματος για τους μαθητές Γυμνασίου.
Με το να '' ξαναγίνουμε '' μαθητές , εννοούσα -κυρίως- πως εμείς οι μεγάλοι μπορούμε να δώσουμε λύση
με τα περιορισμένα γνωστικά εργαλεία του Γυμνασίου .
Από τις απαντήσεις , μου γεννήθηκε μια -διπλή- απορία : Δεν είμαι σίγουρος , αφού όλα τα χρόνια υπηρετώ σε Λύκεια ,
είχα όμως την γνώμη ότι διδάσκονται στο Γυμνάσιο.. 1) Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο και
2) Οι θεμελιώδους σημασίας Νόμοι ημιτόνων-συνημιτόνων.
Αν πράγματι διδάσκονται , τότε , κατά την γνώμη μου , και οι τρείς λύσεις είναι εντός του παρόντος Φακέλου.
Σε κάθε περίπτωση , υποβάλλω στην συνέχεια και την δική μου προσέγγιση αποφεύγοντας την χρήση
ακόμη και των εν λόγω Νόμων. Στο σχήμα αριστερά θεωρούμε τρίγωνο με οπότε είναι , εγγεγραμμένο στον κύκλο .
Φέρνουμε την , όπου το μέσον της.
Το ισοσκελές τρίγωνο έχει , η είναι και διχοτόμος και ύψος άρα το τρίγωνο είναι ''μισό ισόπλευρο '' με συνεπώς είναι .
Φέρνουμε την διάμετρο και τις .Τότε είναι . Στο ορθ. έχουμε και στο ορθ. ..
Aς φέρουμε . Στο σχήμα δεξιά , το ορθ. είναι κι' αυτό '' μισό ισόπλευρο '' . Έστω τότε είναι .
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθ. μας δίνει ή
Υψώνοντας την στο τετράγωνο παίρνουμε
που σημαίνει ενώ άρα .
Φιλικά Γιώργος.
Νίκο , Γιώργο , και Γιώργο σας ευχαριστώ για την συμμετοχή και τις απαντήσεις .
Συμφωνώ , βεβαίως ως προς τον βαθμό δυσκολίας του θέματος για τους μαθητές Γυμνασίου.
Με το να '' ξαναγίνουμε '' μαθητές , εννοούσα -κυρίως- πως εμείς οι μεγάλοι μπορούμε να δώσουμε λύση
με τα περιορισμένα γνωστικά εργαλεία του Γυμνασίου .
Από τις απαντήσεις , μου γεννήθηκε μια -διπλή- απορία : Δεν είμαι σίγουρος , αφού όλα τα χρόνια υπηρετώ σε Λύκεια ,
είχα όμως την γνώμη ότι διδάσκονται στο Γυμνάσιο.. 1) Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο και
2) Οι θεμελιώδους σημασίας Νόμοι ημιτόνων-συνημιτόνων.
Αν πράγματι διδάσκονται , τότε , κατά την γνώμη μου , και οι τρείς λύσεις είναι εντός του παρόντος Φακέλου.
Σε κάθε περίπτωση , υποβάλλω στην συνέχεια και την δική μου προσέγγιση αποφεύγοντας την χρήση
ακόμη και των εν λόγω Νόμων. Στο σχήμα αριστερά θεωρούμε τρίγωνο με οπότε είναι , εγγεγραμμένο στον κύκλο .
Φέρνουμε την , όπου το μέσον της.
Το ισοσκελές τρίγωνο έχει , η είναι και διχοτόμος και ύψος άρα το τρίγωνο είναι ''μισό ισόπλευρο '' με συνεπώς είναι .
Φέρνουμε την διάμετρο και τις .Τότε είναι . Στο ορθ. έχουμε και στο ορθ. ..
Aς φέρουμε . Στο σχήμα δεξιά , το ορθ. είναι κι' αυτό '' μισό ισόπλευρο '' . Έστω τότε είναι .
Το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθ. μας δίνει ή
Υψώνοντας την στο τετράγωνο παίρνουμε
που σημαίνει ενώ άρα .
Φιλικά Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες