Είναι αδύνατη

#1

Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί και αν η διαίρεση του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{3}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ , να αποδείξετε ότι η ισότητα:

$\displaystyle{5x^2 +6y=2034}$ , είναι αδύνατη.

Μπορείτε στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η πιο πάνω εξίσωση είναι επίσης αδύνατη για κάθε $\displaystyle{x,y\in N }$ με $\displaystyle{x}$ όχι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ ;

ΣΗΜ: Διόρθωσα μια απροσεξία στην εκφώνηση, που επεσήμανε ο Αχιλλέας

Γιώργος Απόκης · #2

Ας κάνω το πρώτο ερώτημα, για να αφήσω για τους μαθητές το δεύτερο που είναι... ίδιο!

Aφού η διαίρεση του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{3}$ έχει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ , αν υποθέσουμε ότι το πηλίκο είναι κάποιος φυσικός $\displaystyle{k}$

έχουμε ότι $\displaystyle{x=3k+2}$ . Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και έχουμε διαδοχικά :

$\displaystyle{5(3k+2)^2+6y=2034}$

$\displaystyle{5(9k^2+12k+4)+6y=2034}$

$\displaystyle{45k^2+60k+20+6y=2034}$

$\displaystyle{45k^2+60k+6y=2014}$

$\displaystyle{3(15k^2+20k+2y)=2014}$

Αφού η παρένθεση περιέχει φυσικό αριθμό, το πρώτο μέλος είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ , ενώ το $\displaystyle{2014}$ δεν είναι.

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

Αρχιμήδης 6 · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί και αν η διαίρεση του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{3}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ , να αποδείξετε ότι η ισότητα:

$\displaystyle{5x^2 +6y=2034}$ , είναι αδύνατη.

Μπορείτε στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η πιο πάνω εξίσωση είναι επίσης αδύνατη για κάθε $\displaystyle{x,y\in N }$ με $\displaystyle{x}$ όχι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ ;

ΣΗΜ: Διόρθωσα μια απροσεξία στην εκφώνηση, που επεσήμανε ο Αχιλλέας

Έστω

όπου

το ακέραιο πηλίκο.

3|2034

,

άρα από την εξίσωση θα πρέπει 3|5x^2

όμως

άρα

και αφού

πρώτος τότε αναγκαστικά

3|x

x=3k+2

3|x

3|3k

3|2$ κάτι που είναι αδύνατον.

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν $\displaystyle{x,y}$ είναι φυσικοί αριθμοί και αν η διαίρεση του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{3}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ , να αποδείξετε ότι η ισότητα:

$\displaystyle{5x^2 +6y=2034}$ , είναι αδύνατη.

Μπορείτε στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η πιο πάνω εξίσωση είναι επίσης αδύνατη για κάθε $\displaystyle{x,y\in N }$ με $\displaystyle{x}$ όχι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{3}$ ;

Λύνοντας ως προς

παίρνουμε $y=339-\dfrac{5x^2}{6}$ .

Συνεπώς, αν ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του

ή αν

, τότε o

δεν είναι θετικός ακέραιος, κι άρα η εξίσωση είναι αδύνατη στο $\mathbb{N}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Είναι αδύνατη

Είναι αδύνατη

Re: Είναι αδύνατη

Re: Είναι αδύνατη

Re: Είναι αδύνατη

Μέλη σε σύνδεση