Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Στέλιος Μαρίνης · #1

Προαιρετική εργασία που μοιράζω στους μαθητές μου στο σχολείο
Άλλαξα το συνημμένο λόγω ενός λάθους σχήματος (σχήμα 3)
Κι άλλο λάθος: Στην τελευταία άσκηση το κόπι πέιστ με πρόδωσε. ου το επισήμανε ο george visvikis Το σωστό είναι: $\sqrt {5 + 2\sqrt 6 }$

Γιώργος Απόκης · #2

Καλημέρα Στέλιο. Πολύ όμορφες ασκήσεις. Θα λύσω την 8 που μου άρεσε ιδιαίτερα

Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι $\displaystyle{a,\beta}$ αν $\displaystyle{a\beta-2a+3\beta=18}$

Λύση

H ισότητα γράφεται : $\displaystyle{\beta(a+3)=2a+18~\acute{\eta}~}$

$\displaystyle{\beta=\frac{2a+18}{a+3}=\frac{2a+6+12}{a+3}=\frac{2(a+3)+12}{a+3}=\frac{2(a+3)}{a+3}+\frac{12}{a+3}=2+\frac{12}{a+3}~(1)}$ .

Αφού το $\displaystyle{\beta}$ είναι ακέραιος, θα πρέπει το $\displaystyle{a+3}$ να είναι διαιρέτης του $\displaystyle{12}$ δηλαδή

ένας από τους $\displaystyle{1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12}$ . Όμως $\displaystyle{a+3>3}$ άρα περιοριζόμαστε στους $\displaystyle{4,6,12}$ .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

$\displaystyle{\bullet ~a+3=4}$ άρα $\displaystyle{a=1}$ και από την (1) : $\displaystyle{\beta=5}$

$\displaystyle{\bullet ~a+3=6}$ άρα $\displaystyle{a=3}$ και από την (1) : $\displaystyle{\beta=4}$

$\displaystyle{\bullet ~a+3=12}$ άρα $\displaystyle{a=9}$ και από την (1) : $\displaystyle{\beta=3}$

#3

Στέλιο και Γιώργο, καλό μεσημέρι.

Πράγματι πολύ ωραίες ασκήσεις.
Λίγο διαφορετικά, αυτή που έλυσε ο Γιώργος.

$\displaystyle{\alpha (\beta - 2) + 3(\beta - 2) = 12 \Leftrightarrow (\alpha + 3)(\beta - 2) = 12,\alpha > 3,\beta > 0}$
Αφού $\displaystyle{\alpha + 3,\beta - 2}$ θετικοί ακέραιοι, τότε το $\displaystyle{\alpha + 3}$ , μπορεί να είναι 4,6

ή

.
Μετά, όπως και ο συνονόματος.

Γιώργος Απόκης · #4

george visvikis έγραψε:Στέλιο και Γιώργο, καλό μεσημέρι.

Πράγματι πολύ ωραίες ασκήσεις.
Λίγο διαφορετικά, αυτή που έλυσε ο Γιώργος.

$\displaystyle{\alpha (\beta - 2) + 3(\beta - 2) = 12 \Leftrightarrow (\alpha + 3)(\beta - 2) = 12,\alpha > 3,\beta > 0}$
Αφού $\displaystyle{\alpha + 3,\beta - 2}$ θετικοί ακέραιοι, τότε το $\displaystyle{\alpha + 3}$ , μπορεί να είναι ή.
Μετά, όπως και ο συνονόματος.

Ωραία λύση Γιώργο!

Στέλιος Μαρίνης · #5

Μου άρεσε και η πρώτη λύση (επειδή δεν την είχα σκεφτεί!), αν και η δεύτερη είναι πιο κομψή. Να στε καλά κι οι δύο

#6

Από τον τίτλο (του Στέλιου στην απαραπάνω ανάρτηση) υποψιάζομαι ότι τα θέματα απευθύνονται στους Γιώργηδες...

Όντες μεγαλόψυχοι (εκτός από μάλαμα) θα δεχτούμε και (περιορισμένες) παρεμβάσεις τρίτων

Ας δώσουμε μια ακόμα λύση για το όγδοο θέμα

Είναι $ab-2a+3b=18 \Leftrightarrow a(b-2)=3(6-b)$ , οπότε οι αριθμοί b-2, 6-b

είναι ομόσημοι, άρα 2<b<6

, αφού δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα αρνητικοί ή μηδέν.

Για b=3

είναι

,

Για

είναι

Για

είναι

G.Bas · #7

Καλησπέρα!

Ωραίες οι ασκήσεις. Μια λύση για την 7.

Να γίνει γινόμενο τριών πρωτοβάθμιων πολυωνύμων το πολυώνυμο: a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b).

Ονομάζουμε αυτό

και τότε έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned}P&=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+bc(b-c)\\&=(b-c)a^2-(b-c)a(b+c)+bc(b-c)\\&=(b-c)[a^2-a(b+c)+bc]\\&=(b-c)(a-b)(a-c)\end{aligned}}$

και τελειώσαμε!

Γιώργος Απόκης · #8

6. Αν $\displaystyle{x=7+\sqrt{2}}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\frac{(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)(x^2-11x+30)}{(x^2-5x+6)(x^2-9x+20)(x^2-13x+42)}}$

Λύση

Από τη γνωστή ισότητα $\displaystyle{x^2+(a+\beta)x+a\beta=(x+a)(x+\beta)}$ έχουμε :

$\displaystyle{x^2-3x+2=(x-1)(x-2),~x^2-7x+12=(x-3)(x-4),~x^2-11x+30=(x-5)(x-6)}$ και

$\displaystyle{x^2-5x+6=(x-2)(x-3),~x^2-9x+20=(x-4)(x-5),~x^2-13x+42=(x-6)(x-7)}$

άρα η παράσταση γίνεται :

$\displaystyle{\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)}{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)}=\frac{x-1}{x-7}=\frac{7+\sqrt{2}-1}{7+\sqrt{2}-7}=\frac{6+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{(6+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2}=}$

$\displaystyle{\frac{6\sqrt{2}+2}{2}=\frac{2(3\sqrt{2}+1)}{2}=3\sqrt{2}+1}$

#9

9.Να απλουστευτεί η παράσταση $\displaystyle{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }$

Λύση:

$\displaystyle{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 1 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2\sqrt 3 + {1^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }$ και επειδή

$\displaystyle{\sqrt 3 - 1 > 0}$ , θα είναι $\boxed{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt 3 - 1}$

#10

Να γίνει γινόμενο τριών πρωτοβάθμιων πολυωνύμων το πολυώνυμο: $\displaystyle{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) + {\beta ^2}(\gamma - \alpha ) + {\gamma ^2}(\alpha - \beta )}$

Λύση:

$\displaystyle{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) + {\beta ^2}(\gamma - \alpha ) + {\gamma ^2}(\alpha - \beta ) = {\alpha ^2}\beta - {\alpha ^2}\gamma + {\beta ^2}\gamma - {\beta ^2}\alpha + {\gamma ^2}\alpha - {\gamma ^2}\beta = }$

$\displaystyle{\left( {{\alpha ^2}\beta - {\gamma ^2}\beta } \right) - \left( {{\alpha ^2}\gamma - {\gamma ^2}\alpha } \right) + \left( {{\beta ^2}\alpha - {\beta ^2}\gamma } \right) = }$

$\displaystyle{\beta \left( {{\alpha ^2} - {\gamma ^2}} \right) - \alpha \gamma (\alpha - \gamma ) + {\beta ^2}(\alpha - \gamma ) = }$

$\displaystyle{\beta (\alpha - \gamma )(\alpha + \gamma ) - \alpha \gamma (\alpha - \gamma ) + {\beta ^2}(\alpha - \gamma ) = }$

$\displaystyle{(\alpha - \gamma )(\beta \alpha + \beta \gamma - \alpha \gamma + {\beta ^2}) = (\alpha - \gamma )\left[ {\alpha (\beta - \gamma ) - \beta (\beta - \gamma )} \right] = }$ $\displaystyle{(\alpha - \beta )(\beta - \gamma )(\alpha - \gamma )}$

#11

Να γραφεί ως άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών με ακέραιες υπόρριζες ποσότητες ο αριθμός $\displaystyle{\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } }$

Λύση:

$\displaystyle{\sqrt {5 + 2\sqrt 6 } = \sqrt {3 + 2 + 2\sqrt 6 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 \cdot \sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = }$

$\displaystyle{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 3 + \sqrt 2 }$

#12

Τελικά στ' αλήθεια μόνο οι Γιώργηδες θα συμμετέχουν;

3.

: 12-01-2015 Γ΄ Γυμνασίου.png (40.37 KiB) Προβλήθηκε 1868 φορές

Στο σχήμα, σε έναν κύβο ακμής

έχουμε προσθέσει αριστερά το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο
του σχήματος και έχουμε αποκόψει από το πάνω μέρος ένα άλλο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ενώ κάτω απλώς αποκόψαμε ένα παραλληλεπίπεδο με βάση 1Χ1

παραλληλεπίπεδο. Να αποδείξετε ότι τα δύο στερεά έχουν ίσους όγκους.

Το πρώτο σχήμα έχει όγκο $x^3 + 1\cdot 1 \cdot x - 2x^2$ και το δεύτερο $(x-1)^2 \cdot x$ , οπότε έχουν ίσους όγκους.

#13

Η

είναι λυμένη εδώ

#14

. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{\left( {2 + 6\sqrt 5 } \right)\frac{{{{\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {5 + 3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{12}}}$ είναι ακέραιος.

Λύση:

Η παράσταση γράφεται:

$\displaystyle{\left( {2 + 6\sqrt 5 } \right)\frac{{\left( {7 - 3\sqrt 5 + 5 + 3\sqrt 5 } \right)\left( {7 - 3\sqrt 5 - 5 - 3\sqrt 5 } \right)}}{{12}} = }$

$\displaystyle{\left( {2 + 6\sqrt 5 } \right)\frac{{12\left( {2 - 6\sqrt 5 } \right)}}{{12}} = \left( {2 + 6\sqrt 5 } \right)\left( {2 - 6\sqrt 5 } \right) = {2^2} - {\left( {6\sqrt 5 } \right)^2} = 4 - 180 = - 176}$

Στέλιος Μαρίνης · #15

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Τελικά στ' αλήθεια μόνο οι Γιώργηδες θα συμμετέχουν;

Δεν με χαλάει. Γιώργος είναι κι ο γιος μου εξάλλου

S.E.Louridas · #16

Για να πούμε γεια στους αξιαγάπητους φίλους Γιώργηδες :

Άσκηση 7: Να γίνει γινόμενο τριών πρωτοβάθμιων πολυωνύμων το πολυώνυμο: $\displaystyle{{\alpha ^2}(\beta - \gamma ) + {\beta ^2}(\gamma - \alpha ) + {\gamma ^2}(\alpha - \beta )}$
Μία λύση:
Από την γνωστή ταυτότητα παίρνουμε:
${\left( {a - \beta } \right)^3} + {\left( {\beta - \gamma } \right)^3} + {\left( {\gamma - a} \right)^3} = 3\left( {a - \beta } \right)\left( {\beta - \gamma } \right)\left( {\gamma - a} \right) \Rightarrow$ ${\alpha ^2}\beta - {\beta ^2}\alpha +{\beta ^2}\gamma - \beta {\gamma ^2} + {\gamma ^2}\alpha - {\alpha ^2}\gamma =- \left( {\alpha - \beta } \right)\left( {\beta - \gamma } \right)\left( {\gamma - \alpha } \right) \Rightarrow$ ${\alpha ^2}\left( {\beta - \gamma } \right) + {\beta ^2}\left( {\gamma - \alpha } \right) + {\gamma ^2}\left( {\alpha - \beta } \right) = \left( {-\alpha + \beta } \right)\left( {\beta - \gamma } \right)\left( {\gamma - \alpha } \right).$

Άσκηση 9:Να απλουστευτεί η παράσταση $\displaystyle{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }$
Μία λύση:
$x = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ,\;y = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } \Rightarrow x < y,\;{x^2} + {y^2} = 8,\;xy = 2 \Rightarrow$
${\left( {x + y} \right)^2} = 12,\;{\left( {x - y} \right)^2} = 4 \Rightarrow x + y = 2\sqrt 3 ,\;x - y = - 2 \Rightarrow 2x = 2\sqrt 3 - 2 \Rightarrow x = \sqrt 3 - 1.$

edit: Απλά τοποθέτηση ενός - (μείον) μετά το τελευταίο = και στο

της πρώτης παρένθεσης στην Άσκηση 7.

Γιώργος Απόκης · #17

2. Aν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει πλευρές $\displaystyle{x,y}$ και περίμετρο $\displaystyle{2a}$ να υπολογίσετε τον αριθμό $\displaystyle{ax-ay-x^2+y^2}$

Λύση

Αφού η περίμετρος είναι $\displaystyle{2a}$ έχουμε $\displaystyle{2x+2y=2a~\acute{\eta}~x+y=a~(1)}$

H παράσταση γράφεται

$\displaystyle{ax-ay-(x^2-y^2)=a(x-y)-(x+y)(x-y)=(x-y)[a-(x+y)]\overset{(1)}=(x-y)(a-a)=(x-y)\cdot 0=0}$

Γιώργος Απόκης · #18

Έχει μείνει μόνο η 5. Βάζω την εκφώνηση και το σχήμα από το αρχείο του Στέλιου.

Στο σχήμα, αριστερά σε έναν κύβο ακμής $\displaystyle{x}$ έχουμε προσθέσει το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του σχήματος και

έχουμε αποκόψει από το επάνω μέρος ένα άλλο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, ενώ δεξιά απλώς αποκόψαμε το

πάνω παραλληλεπίπεδο. Να αποδείξετε ότι τα δύο στερεά έχουν ίσους όγκους.

Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Όπου Γιώργος και μάλαμα

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Re: Δέκα ασκήσεις ελαφρώς "τσιμπημένες"

Μέλη σε σύνδεση