Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο...

[george visvikis]

Εν όψει του διαγωνισμού Θαλή.

Ζητείται ακτίνα και όχι μόνο....png (9.54 KiB) Προβλήθηκε 541 φορές

Ένας κύκλος διέρχεται από τις κορυφές τετραγώνου πλευράς και εφάπτεται στην πλευρά στο σημείο .

α) Να υπολογίσετε την ακτίνα του κύκλου.

β) Αν ο κύκλος τέμνει την στο , να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

ΥΓ.1 Οι μεγάλοι ας κάνουν υπομονή ένα ωρο.
ΥΓ.2 Οι μαθητές της Γ' Γυμνασίου δεν γνωρίζουν δύναμη σημείου ως προς κύκλο.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Επειδή η , η είναι διάμετρος του κύκλου. Άρα το είναι το μέσο της .

Η είναι κάθετη στην που είναι κάθετη στην , άρα η . Έστω ότι η προέκταση της τέμνει την στο . Προφανώς η θα είναι κάθετη στην , άρα αποτελεί απόστημα στη χορδή και το θα είναι το μέσο της.

Είναι προφανές ότι . Με πυθαγόρειο στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε:

Λόγω Θαλή στο τρίγωνο η .

Υ.Γ.

Αφού , και αφού το είναι το μέσο της διαμέτρου , λόγω Θαλή το θα είναι το μέσο του , άρα . Επειδή η είναι εφαπτομένη του κύκλου θα ισχύει ότι . Άρα .