ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος (турнирй городов) για μαθητές 3ης Γυμνασίου.

Ένας καθηγητής τοποθετεί 6 χαρτάκια σε δύο κουτιά, τρία χαρτάκια σε κάθε κουτί. Σε κάθε χαρτάκι είναι γραμμένος ένας θετικός πραγματικός αριθμός. Όλοι οι αριθμοί είναι διαφορετικοί. Οι αριθμοί του ενός κουτιού αποτελούν τα αθροίσματα ανά δύο τριών αριθμών $\alpha,\beta,\gamma$ , γνωστών μόνο στον καθηγητή, δηλ. $\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha$ , ενώ οι αριθμοί του άλλου κουτιού αποτελούν τα γινόμενα ανά δύο των ιδίων αριθμών, δηλ. $\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha$ . Βλέπουμε τους 6 αριθμούς, στα δύο κουτιά, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιό κουτί περιέχει τα αθροίσματα και ποιο τα γινόμενα. Μπορούμε να βρούμε ποιοί είναι οι αρχικοί αριθμοί $\alpha,\beta$ και $\gamma$ ;

Σημείωση. Αν ξέραμε ποιό κουτί έχει τα αθροίσματα, τότε από τις τιμές των $\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha$ μπορούμε (3η Γυμνασίου) πολύ εύκολα να βρούμε τα $\alpha,\beta$ και $\gamma$ . Παρομοίως, αν ξέραμε τις τιμές των $\alpha\beta,\beta\gamma$ και $\gamma\alpha$ , πάλι μπορούμε πολύ εύκολα να βρούμε τα $\alpha,\beta$ και $\gamma$ . Το θέμα είναι ότι δεν γνωρίζουμε ποιό κουτί έχει τα αθροίσματα και ποιό τα γινόμενα.

#2

Γιώργο, σε χάσαμε.

Έστω a < b < c

. Τότε είναι a+b < a+c < b+c

και

. Αν λοιπόν προσθέσω τον μεγαλύτερο αριθμό από το πρώτο κουτί και τον μεγαλύτερο από το δεύτερο θα πάρω bc+b+c

. Οπότε γνωρίζω και τον αριθμό (b+1)(c+1) = bc+b+c+1

. Ομοίως γνωρίζω και τους αριθμούς (a+1)(b+1)

και

.

Τώρα είναι εύκολο να βρω τους a,b,c

. [Π.χ. αν x=(b+1)(c+1),y=(a+1)(b+1)

και

τότε είναι $a = \sqrt{yz/x}-1$ κ.τ.λ.]

Γ.-Σ. Σμυρλής · #3

Σωστά!

Γενικά, τα προβλήματα των Ρωσικών Ολυμπιάδων έχουν σύντομες (σχεδόν πάντα) και έξυπνες λύσεις.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

Re: ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ρωσικής Ολυμπιάδος

Μέλη σε σύνδεση