Ταυτότητα

#1

Μεταφέροντας τη συζήτηση από ΕΔΩ:

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !
Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.

Προτείνω (για τους μικρούς μας φίλους):

Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ${\left( {... + ...} \right)^2} = {x^2} + 2 + ...$ , για κάθε πραγματικό x.

(Ύλη Γ΄ Γυμνασίου)

JimNt. · #2

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Μεταφέροντας τη συζήτηση από ΕΔΩ:

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Αγαπητοί φίλοι, Μαθηματικά σημαίνει σκέφτομαι, βρίσκω τρόπους για να λύσω ένα πρόβλημα, αυτοσχεδιάζω, συνθέτω για να ρίξω το θηρίο στο καναβάτσο !
Προτείνετε ασκήσεις και λύστε ασκήσεις για να ωφεληθούμε όλοι.
Προτείνω (για τους μικρούς μας φίλους):

Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ${\left( {... + ...} \right)^2} = {x^2} + 2 + ...$ , για κάθε πραγματικό x.

(Ύλη Γ΄ Γυμνασίου)

$(x, \sqrt{2}),(x,1/x)$ Η δεύτερη είναι λάθος (0)

. Δείτε πιο κάτω. και την $(\sqrt{2}, \dfrac{x^2}{2\sqrt{2}})$

apotin · #3

Αναφέρει για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{x}$

#4

Συνεχίζω με άλλες ασκήσεις σε αυτή την θεματική:

Αν a,b,c

ακέραιοι, δείξτε ο (a-b)^2(b-c)^2+ (b-c)^2(c-a)^2+(c-a)^2(a-b)^2

είναι τέλειο τετράγωνο.

(Η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις, αλλά να δείξουμε το ζητούμενο με κάπως οικονομικό τρόπο.)

#5

Καλημέρα σε όλους!

Ας γράψω λίγο πιο αναλυτικά τις απαντήσεις του Δημήτρη και λίγα δικά μου σχόλια.

Αν $\displaystyle x \ne 0$ ισχύει η ταυτότητα $\displaystyle {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}$

Για κάθε $\displaystyle x \in R$ ισχύει η ταυτότητα $\displaystyle {\left( {x + \sqrt 2 } \right)^2} = {x^2} + 2\sqrt 2 x + 2$ ,

καθώς και η ταυτότητα $\displaystyle {\left( {\sqrt 2 + \frac{{{x^2}}}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2 + {x^2} + \frac{{{x^4}}}{8}$ .

Τα κρίσιμα σημεία της άσκησης ήταν ο προσδιορισμός των όρων a, b

της ταυτότητας (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

,

δηλαδή σε τι αντιστοιχεί το x^2

και το

κάθε φορά (τρεις περιπτώσεις), αλλά και η χρήση του καθολικού ποσοδείκτη.

Το χρησιμοποιώ ως αφορμή στην τάξη για να τονίσω τη διαφορά των φράσεων: "υπάρχει ή υπάρχουν κάποια

τέτοια ώστε… " και "για κάθε

….", (με άλλα λόγια μεταξύ του υπαρξιακού και του καθολικού ποσοδείκτη).

Επίσης, σημαντικό θέμα είναι και η αναφορά στις "ταυτότητες υπό συνθήκη".

Επίτηδες, εδώ, τέθηκε ο αρχικός περιορισμός: "για κάθε πραγματικό αριθμό". Αποκλείστηκε, έτσι η πρώτη περίπτωση (συνήθης απάντηση των μαθητών) και δόθηκε η αφορμή για αναζήτηση.

Στο ερώτημα αν η σχέση $\displaystyle {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {x^2} + 2 + \frac{1}{{{x^2}}}$ είναι ταυτότητα ή όχι, η απάντηση είναι θετική, διότι και οι δύο παραστάσεις ορίζονται στο ίδιο σύνολο (το R^*

) και παίρνουν την ίδια τιμή για κάθε

που ανήκει στο σύνολο αυτό.

Υ.Γ. Οι προσεκτικοί μικροί μας φίλοι θα έχουν ήδη εντοπίσει μια υπόδειξη για το όμορφο πρόβλημα που έθεσε ο Μιχάλης στην προηγούμενη ανάρτηση.

Ορέστης Λιγνός · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλες ασκήσεις σε αυτή την θεματική:

Αν ακέραιοι, δείξτε ο είναι τέλειο τετράγωνο.

(Η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις, αλλά να δείξουμε το ζητούμενο με κάπως οικονομικό τρόπο.)

Καλημέρα σε όλους!

Έστω $a-b=x, \, b-c=y, \, c-a=z, \, x+y+z=0$

Τότε $\displaystyle A=(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)=(xy+yz+zx)^2$

#7

Θαυμάσια.
Αυτή την λύση είχα κατά νου.

#8

Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

$\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ... +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }$

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών $2,\, 3, \, ... \, , 100$ , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο $3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91$ , και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.

JimNt. · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

$\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ... +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }$

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών $2,\, 3, \, ... \, , 100$ , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο $3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91$ , και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#10

JimNt. έγραψε: Επαγωγικά νομίζω μπορούμε να δείξουμε ότι η αρχική για οποιοδήποτε στην θέση του ισούται με .

Η επαγωγή είναι εκτός ύλης Γ' Γυμνασίου. Εν πάση περιπτώσει δεν πρόκειται για "τεχνασματάκι" που λύνει την άσκηση σε δυό τρεις γραμμές.

Οπότε πίσω στο τραπέζι η άσκηση.

Γιάννης Μπόρμπας · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω με άλλη μία άσκηση που βασίζεται σε ταυτότητες .

Να βρεθεί η τιμή του αθροίσματος

$\displaystyle{ 1 +\frac {1}{2} +\frac {1}{3}+\frac {1}{4}+ ... + \frac {1}{100}+ \frac {1}{2\cdot 3}+ ... +\frac {1}{99\cdot 100} +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4} +...+\frac {1}{98\cdot 99 \cdot 100}+ ... +\frac {1}{2\cdot 3 \cdot 4\cdot ... \cdot 100 } }$

Εδώ οι παρονομαστές είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί γινομένων των αριθμών $2,\, 3, \, ... \, , 100$ , από μία φορά ο καθένας. Για παράδειγμα ένας όρος είναι ο $3\cdot 17 \cdot 62\cdot 75\cdot 76 \cdot 91$ , και πάει λέγοντας.

Η άσκηση λύνεται σε δυό τρεις γραμμές, με ένα ωραίο τεχνασματάκι. Ίσως δεν το δει αμέσως ένας πρωτόπειρος, όμως είναι ωραία και διδακτική, γι' αυτό και την αναρτώ. Κάνει για όλες τις τάξεις, αλλά μπορεί να είναι πρόκληση και για τους ... μαντράχαλους, αν δεν δουν το τεχνασματάκι.

Το παραπάνω άθροισμα προκύπτει αν ανοίξουμε το
$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{100})=(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})...(\frac{101}{100}) =\frac{101}{2}$

JimNt. · #12

Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι $2^{100}-1$ , που δεν διαιρείται με το

. Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις $\frac{1}{1\cdot n}$ , εκτός από την 1/n

... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το

ως παράγοντα....

#13

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Το παραπάνω άθροισμα προκύπτει αν ανοίξουμε το
$(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})...(1+\frac{1}{100})=(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})...(\frac{101}{100}) =\frac{101}{2}$

Ωραιότατα. Την προόριζα για μαθητές Γυμνασίου αλλά χαίρομαι που την απάντησες.

Για όσους δεν βλέπουν το σκεπτικό, ας εξηγήσω: Το ανάπτυγμα του

$\displaystyle{(1+a_1)(1+a_2)(1+a_3)...(1+a_n)}$

είναι άθροισμα γινομένων παραγόντων που λαμβάνονται ανά ένας από κάθε παρένθεση. Έτσι κάποιοι παράγοντες είναι

ενώ οι άλλοι είναι της μορφής a_k

. Ο τυπικός όρος είναι της μορφής a_pa_q...a_r

. Στο παραπάνω τα a_k

είναι τα κλάσματα $\frac {1}{2}, ... \, , \frac {1}{100}$ .

#14

JimNt. έγραψε:Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι $2^{100}-1$ , που δεν διαιρείται με το . Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις $\frac{1}{1\cdot n}$ , εκτός από την ... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το ως παράγοντα....

Δεν μπορώ να καταλάβω το σκεπτικό σου. Λες, για παράδειγμα, ότι υπολόγιζες όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το

ως παράγοντα. Υποθέτω το λες για να επισημάνεις ότι είναι λάθος. Να όμως που είναι σωστό. Ας σημειώσω ότι η απάντηση

(μέσω επαγωγής) που δίνεις σε προηγούμενο ποστ δεν είναι σωστή για κανένα $n\ge 2$ .

Άσκηση (για το Λύκειο). Να δωθεί επαγωγική απόδειξη του παραπάνω.

JimNt. · #15

Mihalis_Lambrou έγραψε:
JimNt. έγραψε:Δεν είναι σωστό νομίζω. Το πλήθος των όρων είναι $2^{100}-1$ , που δεν διαιρείται με το . Βασικά εγώ έχω το λάθος. Υπολόγιζα και τις $\frac{1}{1\cdot n}$ , εκτός από την ... και γενικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το ως παράγοντα....
Δεν μπορώ να καταλάβω το σκεπτικό σου. Λες, για παράδειγμα, ότι υπολόγιζες όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που περιλάμβαναν και το ως παράγοντα. Υποθέτω το λες για να επισημάνεις ότι είναι λάθος. Να όμως που είναι σωστό. Ας σημειώσω ότι η απάντηση (μέσω επαγωγής) που δίνεις σε προηγούμενο ποστ δεν είναι σωστή για κανένα $n\ge 2$ .

Άσκηση (για το Λύκειο). Να δωθεί επαγωγική απόδειξη του παραπάνω.

Εννοώ π.χ ότι για n=2

παίρνουμε

. ή για

.(Όλοι οι συνδυασμοί....)

#16

JimNt. έγραψε: Εννοώ π.χ ότι για παίρνουμε . ή για .

Ωραία. Με την διευκρίνηση/παραλλαγή αυτή η άσκηση είναι στο ίδιο μήκος κύματος. Τώρα η απάντηση είναι $\left (1+ \frac {1}{1} \right) \left (1+ \frac {1}{2} \right)...\left (1+ \frac {1}{n} \right) -1= n$ , όπως σωστά έγραψες.

#17

(Μία απλή για τους μικρούς μας μαθητές)

α) Βρείτε πολυώνυμα p,q

ώστε για κάθε

να ισχύει $\displaystyle{(x^2+1)^2p(x) + (x-1)^2q(x)=1}$ .

β) Βρείτε αριθμούς a,b,c,d,e,f

ώστε για κάθε $x \ne 1$ να ισχύει

$\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {a}{x-1}+\frac {b}{(x-1)^2}+ \frac {cx+d}{x^2+1}+ \frac {ex+f}{(x^2+1)^2}}$ .

(Το τελευταίο στην βιβλιογραφία ονομάζεται "ανάλυση κλάσματος σε απλά")

Για το β) η ιδέα είναι να μην χαθούμε στις πράξεις. Λύνεται σε λίγες γραμμές.

#18

Επαναφορά με μικρή υπόδειξη:

Υπάρχει τέτοιο

πρώτου βαθμού και

τρίτου.

#19

Mihalis_Lambrou έγραψε: α) Βρείτε πολυώνυμα ώστε για κάθε να ισχύει $\displaystyle{(x^2+1)^2p(x) + (x-1)^2q(x)=1}$ .

β) Βρείτε αριθμούς ώστε για κάθε $x \ne 1$ να ισχύει

$\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {a}{x-1}+\frac {b}{(x-1)^2}+ \frac {cx+d}{x^2+1}+ \frac {ex+f}{(x^2+1)^2}}$ .

α) Είτε λύνοντας ένα σύστημα είτε κάνοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο εύρεσης μέγιστου κοινού διαιρέτη, για πολυώνυμα, θα διαπιστώσουμε ότι

$\displaystyle{\frac {1}{4} (x^2+1)^2(-2x+1) +\frac {1}{4} (x-1)^2(2x^3+x^2+4x+1)=1}$ .

β) Αντικαθιστούμε το παραπάνω στην θέση του αριθμητή

. Η απλοποίηση των κλασμάτων θα δώσει

$\displaystyle{\frac {1}{(x-1)^2(x^2+1)^2}= \frac {1}{2(x-1)}+\frac {1}{4(x-1)^2}+ \frac {2x+1}{4(x^2+1)}+ \frac {x}{2(x^2+1)^2}}$ .

#20

Μετέφερα την συζήτηση στους διαγωνισμούς μιας και τα θέματα είναι δυστυχώς μάλλον δύσκολα για Α' Γυμνασίου.

Ταυτότητα

Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Re: Ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση