Απορία πάνω σε ένα "λεπτό" θέμα

[Νασιούλας Αντώνης]

Ίσως έχει ξανασυζητηθεί παλιότερα, όμως λίγο που έψαξα δεν το βρήκα.
Ένας συμμαθητής μου χθες στο σχολείο, μου έφερε το εξής και μου ζήτησε να του εξηγήσω τι συμβαίνει:
όμως
To ερώτημα που τίθεται: είναι ?? Προσπαθώντας να δω τι συμβαίνει έγραψα τον ως άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο τον και . Σύμφωνα με τον τύπο του αθροίσματος έχουμε:
Άρα . Ισχύει κάτι τέτοιο?
Ρωτώντας κάποιους καθηγητές πήρα αντικρουόμενες απαντήσεις. Άλλοι λένε ναι, άλλοι όχι, άλλοι ότι το δέχονται συγκεκριμένοι κλάδοι των μαθηματικών κτλ κτλ.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Αντώνης

[Κοτρώνης Αναστάσιος]

To ερώτημα που τίθεται: είναι ??

Ναι. Και μια απόδειξη είναι αυτή που έδωσες. Το θέμα είχε πέσει και στον προηγούμενο ασέπ.

Εγώ είμαι περίεργος να μάθω ποιοι είναι οι κλάδοι των μαθηματικών που "δεν το δέχονται"..

[Νασιούλας Αντώνης]

To ερώτημα που τίθεται: είναι ??

Εγώ είμαι περίεργος να μάθω ποιοι είναι οι κλάδοι των μαθηματικών που "δεν το δέχονται"..

Για να είμαι ειλικρινής, έτσι όπως μου φάνηκε, αυτός που μου το είπε μάλλον δεν ήξερε επί του θέματος και προτίμησε να δώσει μια διφορούμενη απάντηση...δεν νομίζω ότι όντως είχε κάποιος κλάδους στο μυαλό του.
Τέλος πάντων,
ευχαριστώ πολύ για την άμεση απάντηση.
Αντώνης

[chris_gatos]

Υπήρξαν κάποτε:

1) Αυτό

και

2)αυτό

Μπορεί και άλλα, που ξέρεις...

[polysot]

άλλος τρόπος που πρέπει να τον έχουμε ξαναναφέρει κάπου είναι :

έστω χ=0,99...
τότε
10χ = 9,99...
οπότε
10χ - χ = 9,99.. - 0,99..
9χ = 9
χ=1
αλλά και για αυτό είχαν κάποιοι ψιλόαντιρήσεις για την ισχύ του, λέγοντας τι σημαίνει η αφαίρεση
9,99...- 0,99...

[KDORTSI]

Το θέμα καλά το αντιμετώπισε ο Αντώνης. Οι νύξεις που γίνονται στα σχολικά βιβλία σημερινά ή λίγο πρίν είναι οι εξής:
1η)Μαθηματικά Β' Γυμνασίου(Α.Αλιμπισίνης κλπ) έκδοση 1993(παλιό,αυτό έχω στη βιβλιοθήκη μου): Σελίδα 58,59,60,61. Κεφ. 1.12 Δεκαδική μορφή των ρητών αριθμών.
2η) Μαθηματικά Α' Γυμνασίου των Ι.Βανδουλάκη κλπ(σημερινό).Σελίδα 135, 136. Κεφ. 7ο Παράγραφος Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών.
3η) Άλγεβρα Β΄Ενιαίου Λυκείου των Σ. Ανδρεαδάκη κλπ(σημερινό). Σελίδα 115. Παράδειγμα 3ο της παραγράφου 3.5 με τίτλο: Άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου.
Θαρρώ όμως ότι θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ακόμα κάτι. Τί γίνεται:
α)Όταν μας δίνονται δύο ρητοί αριθμοι που έχουν περιοδικότητα με το ίδιο πλήθος ψηφίων και που το άθροισμα τους όμως έχει πλήθος ψηφίων μεγαλύτερο από το κοινό αυτό πλήθος.
β) Όταν μας δίνονται δύο ρητοί με άπειρο πλήθος δεκαδικών ψηφίων και οι οποίοι εμφανίζουν περιοδικότητα με διαφορετικό πλήθος ψηφίων ή ακόμα η περιοδικότητα αρχίζει μετά από μερικά ψηφία μετά την υποδιαστολή.
Στις περιπτώσεις αυτές που είναι διαφορετικές από το παράδειγμα του Αντώνη(κι ίσως εδώ να βρίσκονται οι κάποιες αντιρρήσεις των δασκάλων του, εικάζω) τα πράγματα είναι διαφορετικά.
Για παράδειγμα:


Σύμφωνα με την πράξη του παραδείγματος του Αντώνη θα είναι:

τίποτα από τα δύο αυτά γιατί:

Σε παρόμοια κατάσταση οδηγούμαστε και στη β περίπτωση.

Συνεπώς:
Στις περιπτώσεις αυτές είναι καλύτερο να γίνονται οι πράξεις αφού αναγάγουμε τους περιοδικούς αυτούς αριθμούς στην γνωστή πλέον μορφή μ/ν.

[qwerty]

η απάντηση στο ζήτητα αυτού topic καθώς και πληροφορίες για το δεκαδικό ανάπτυγμα βρίσκονται εδώ σελ.9 και 10

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

http://eclass.uoa.gr/modules/document/f ... eriesn.pdf

ή ακόμη πιο λεπτωμερώς εδώ σελ 31-35

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

http://eclass.uoa.gr/modules/document/f ... 010-11.pdf

[Αντώνης Ερασιτέχνης]

Ίσως έχει ξανασυζητηθεί παλιότερα, όμως λίγο που έψαξα δεν το βρήκα.
Ένας συμμαθητής μου χθες στο σχολείο, μου έφερε το εξής και μου ζήτησε να του εξηγήσω τι συμβαίνει:
όμως
To ερώτημα που τίθεται: είναι ?? Προσπαθώντας να δω τι συμβαίνει έγραψα τον ως άθροισμα άπειρων όρων γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο τον και . Σύμφωνα με τον τύπο του αθροίσματος έχουμε:
Άρα . Ισχύει κάτι τέτοιο?
Ρωτώντας κάποιους καθηγητές πήρα αντικρουόμενες απαντήσεις. Άλλοι λένε ναι, άλλοι όχι, άλλοι ότι το δέχονται συγκεκριμένοι κλάδοι των μαθηματικών κτλ κτλ.
Ευχαριστώ εκ των προτέρων,
Αντώνης

Το πρόβλημα (όπως το αντιλαμβάνομαι), έχει μάλλον διττή όψη.
Α) Αυτήν του φυσικού αριθμού.
Β) Αυτήν των πραγμάτων που μπορούν να υπάρχουν ως προς αριθμό, να εκφράζονται δηλαδή με αριθμό αλλά τα ίδια τα πράγματα να μην είναι αριθμοί.

Ας το δούμε.:

Έστω ένα σύνολο πραγμάτων Σ = Α, Β, Γ .
Γράφοντας την παράσταση 1 / 2 + 2 / 3 = 1, και παίρνοντας την (Β) περίπτωση του προβλήματός μας, θα έχουμε.:

1 / 2 = (Ένα πράγμα από τα τρία πράγματα του (1) ενός συνόλου Σ) + 2 / 3 = (Δύο πράγματα από τα τρία πράγματα του (1) ενός συνόλου Σ) = Σ = Ένα πράγμα, ως σύνολο πραγμάτων κι όχι 1 ως φυσικός αριθμός.

..
Δηλαδή μοιάζει με λογοπαίγνιο που δημιουργεί μαθηματικό παράδοξο.
Παραδείγματα.:
Άπειρο συν ένα ίσον άπειρο.
Άπειρο πλην ένα ίσον άπειρο.
Άπειρο πλην ένα ίσον ένα. κλπ

Αναρωτιέμαι αν στο θέμα αυτό μπορεί να ισχύουν και οι προτάσεις.:
1) Για κάθε άπειρο σύνολο Σ θα ισχύει ότι 1 / 2 + 2 / 3 = 1

2) Για κάθε υπερβατικό αριθμό ω θα ισχύει 1 / 2 + 2 / 3 = 1

[nonlinear]

Άλλοι λένε ναι, άλλοι όχι, άλλοι ότι το δέχονται συγκεκριμένοι κλάδοι των μαθηματικών κτλ

Στο καινούριο βιβλίο του ο Ian Stewart καθηγητής Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Warwick λέει οντως οτι υπάρχει κλάδος στην ανάλυση ονομαζόμενος non-standard analysis που περιγράφεται στο βιβλίο του Abraham Robinson με τον ίδιο τίτλο του 1960 στο οποίο επεκτείνοντας τις ιδιότητες των πραγματικών οντως δεν ισχύει οτι .
Αρα όσοι μίλησαν περί αποδοχής η μη απο κάποιους κλάδους μάλλον έχουν δίκιο.
Για τεχνικές λεπτομέρειες στο paper που υπάρχει παρακάτω άλλα μάλλον απευθύνεται σε γνώστες :

http://arxiv.org/abs/arXiv:1007.3018

[polysot]

Άλλοι λένε ναι, άλλοι όχι, άλλοι ότι το δέχονται συγκεκριμένοι κλάδοι των μαθηματικών κτλ

Στο καινούριο βιβλίο του ο Ian Stewart καθηγητής Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Warwick λέει οντως οτι υπάρχει κλάδος στην ανάλυση ονομαζόμενος non-standard analysis που περιγράφεται στο βιβλίο του Abraham Robinson με τον ίδιο τίτλο του 1960 στο οποίο επεκτείνοντας τις ιδιότητες των πραγματικών οντως δεν ισχύει οτι .
Αρα όσοι μίλησαν περί αποδοχής η μη απο κάποιους κλάδους μάλλον έχουν δίκιο.
Για τεχνικές λεπτομέρειες στο paper που υπάρχει παρακάτω άλλα μάλλον απευθύνεται σε γνώστες :

http://arxiv.org/abs/arXiv:1007.3018

Στο πλαίσιο των αριθμών και των ιδιοτήτων τους όπως τους εξετάζουμε μέχρι και το 1ο έτος του Πανεπιστημίου ισχύει ότι . Τώρα, από εκεί και πέρα μπορούν να υπάρξουν και άλλες θεωρήσεις.