Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Γιώργος Απόκης · #1

Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει $g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x)$ κοντά στο x_0

.

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι $g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x)$ κοντά στο x_0

; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει $g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x)$ κοντά στο .

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι $g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x)$ κοντά στο ; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;

Γιώργο, καλησπέρα !
Δε θεωρώ πως ο μαθητής έχει να δικαιολογήσει κάτι παραπάνω, πέρα από το να συνεχίσει και να αποδείξει ότι τα όρια των δύο συναρτήσεων g,h

είναι ίσα.
Το γεγονός ότι η διάταξη στην περίπτωση που αναφέρεις είναι γνήσια , ουδόλως επηρεάζει την εφαρμογή του θεωρήματος, αφού η διάταξη του βιβλίου(με το ''='' καλύπτει και τη γνήσια.

Με άλλα λόγια η περίπτωση $g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x)$ καλύπτει και την περίπτωση

$g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x)$ .

Η αντίθετη περίπτωση είναι αυτή που θα ήθελε συζήτηση !

Αν έχεις κάτι άλλο στο μυαλό σου, ευχαρίστως να το κουβεντιάσουμε.

Μπάμπης

Γιώργος Απόκης · #3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: Το γεγονός ότι η διάταξη στην περίπτωση που αναφέρεις είναι γνήσια , ουδόλως επηρεάζει την εφαρμογή του θεωρήματος, αφού η διάταξη του βιβλίου(με το ''='' καλύπτει και τη γνήσια.
Mπάμπης

Ναι, ξεκάθαρο είναι τώρα! Ευχαριστώ Μπάμπη!

Α.Κυριακόπουλος · #4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Στο σχολικό αναφέρει ότι για να εφαρμόσουμε το Κριτήριο Παρεμβολής, πρέπει να ισχύει $g(x)\color{red}\leq \color{black} f(x) \color{red}\leq \color{black}h(x)$ κοντά στο .

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το θεώρημα αν είναι $g(x)\color{red}< \color{black} f(x) \color{red}< \color{black}h(x)$ κοντά στο ; Πώς θα δικαιολογήσει ο μαθητής το αποτέλεσμα;

Γιώργο, νομίζω ότι πρέπει να δώσεις να καταλάβουν οι μαθητές, καταρχήν τον ορισμό:
$\alpha \le \beta \mathop \Leftrightarrow \limits_{o\rho .} (\alpha < \beta \dot \eta \alpha = \beta )$ .
Για παράδειγμα ισχύουν: $3 \le 3$ ( γιατί 3 = 3

) και $3 \le 5$ ( γιατί 3 < 5

).
Στη συνέχεια είναι εύκολο να αποδειχθεί η συνεπαγωγή: $\alpha < \beta \Rightarrow \alpha \le \beta$ . Το αντίστροφο δεν αληθεύει. Για παράδειγμα ισχύει $3 \le 3$ , αλλά δεν ισχύει 3 < 3

.
• Έτσι, λοιπόν, αν έχουμε:
g(x) < f(x) < h(x)

, κοντά στο ${x_0}$
θα έχουμε και
$g(x) \le f(x) \le h(x)$ , κοντά στο ${x_0}$ .

G.Tsikaloudakis · #5

και ένα απλό παράδειγμα:
κοντά στο

είναι:

$\sqrt {x^2 + 1} < \sqrt {x^4 + x^2 + 1} < x^2 + 1$

με:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {x^2 + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {x^4 + x^2 + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (x^2 + 1) = 1$ .
Ακόμα , για κάθε $x \ne 0$ είναι

$\frac{1}{{x^2 + 1}} < \frac{1}{{\sqrt {x^4 + x^2 + 1} }} < \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 1} }}$

αλλά:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x^2 + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {x^4 + x^2 + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = 0$

Γιώργος Απόκης · #6

Καλημέρα. Σας ευχαριστώ όλους για το "ξεκαθάρισμα" στις έννοιες!

Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Re: Απορία στο Κριτήριο Παρεμβολής

Μέλη σε σύνδεση