Κατασκευή ριζών τριωνύμου

tsaknakis · #1

Έστω $x_1,x_2 \in R$ οι ρίζες του πολυωνύμου x^2-sx+p

. Nα δείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο

, όπου

και

, τέμνει τον άξονα των

στα

.

Μάκης Χατζόπουλος · #2

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο $\displaystyle{K\left( {\frac{s}{2},\frac{{p + 1}}{2}} \right)}$ , με ακτίνα $\displaystyle{p = \frac{{\left( {AB} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}} }}{2}}$

άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: $\displaystyle{C:{\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{p + 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4}}$

Τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ για $\displaystyle{y = 0}$ , άρα

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} + {\left( {0 - \frac{{p + 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4} - {\left( {\frac{{p + 1}}{2}} \right)^2} \\ \\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2} - {{\left( {p + 1} \right)}^2}}}{4} \\ \\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2} - {{\left( {p + 1} \right)}^2}}}{4} \\ \\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} - 4p}}{4} \\ \\ \Leftrightarrow {x^2} - sx + p = 0 \\ \end{array}}$

Μάκης Χατζόπουλος · #3

Και αντίστροφα, αν ο κύκλος με διάμετρο το $\displaystyle{AB}$ τέμνει τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda \left( {x,0} \right)}$ τότε

$\displaystyle{\begin{array}{l} \overrightarrow {\Lambda {\rm A}} \bot \overrightarrow {\Lambda {\rm B}} \Leftrightarrow \overrightarrow {\Lambda {\rm A}} \cdot \overrightarrow {\Lambda {\rm B}} = 0 \\ \\ \Leftrightarrow \left( {0 - x,1 - 0} \right) \cdot \left( {s - x,p - 0} \right) = 0 \\ \\ \Leftrightarrow - x\left( {s - x} \right) + p = 0 \\ \\ \Leftrightarrow {x^2} - sx + p = 0 \\ \end{array}}$

Άρα οι λύσεις της τελευταίας εξίσωσης είναι τα σημεία τομής του κύκλου με τον οριζόντιο άξονα.

#4

: Κύκλος και παραβολή.PNG (43.14 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Απλά καταθέτω το σχήμα που φαίνεται καθώς κι ένα δυναμικό για όσους δουλεύουν
το λογισμικό Geogebra.

Κύκλος και παραβολή.ggb: (6.07 KiB) Μεταφορτώθηκε 81 φορές

Κώστας Δόρτσιος

tsaknakis · #5

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο $\displaystyle{K\left( {\frac{s}{2},\frac{{p + 1}}{2}} \right)}$ , με ακτίνα $\displaystyle{p = \frac{{\left( {AB} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}} }}{2}}$

άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: $\displaystyle{C:{\left( {x - \frac{s}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{p + 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{s^2} + {{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4}}$

Ακόμα και στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει μιγαδικές ρίζες, με τη βοήθεια του παραπάνω κύκλου μπορούμε να βρούμε τις εικόνες τους.

Δείξτε ότι τα σημεία τομής κάθε κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα των

και είναι ορθογώνιος με τον

, με την κάθετη ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του

, είναι οι εικόνες των μιγαδικών ριζών του τριωνύμου.

Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Re: Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Re: Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Re: Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Re: Κατασκευή ριζών τριωνύμου

Μέλη σε σύνδεση