Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

ΗρακληςΕυαγγελινος · #1

Αλγεβρική απόδειξη ότι το 641/F5 & Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

Ι. Εικασία Fermat (1601-1665)

Ο Fermat είχε ισχυρισθεί το 1640 ότι οι αριθμοί $F_\nu=2^{2^{\nu}}+1 (\nu \in N)$ "αριθμοί Fermat" είναι πρώτοι αριθμοί (πλάνη Fermat).

Η εικασία Fermat ισχύει για τους αριθμούς F_0, F_1, F_2, F_3, F_4

.

Το 1732 όμως, ο Euler απέδειξε ότι ο $F_5=641 \cdot 6700417$ , δηλαδή γινόμενο 2 αριθμών, άρα σύνθετος αριθμός. Οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 641 είναι 116. Ο Fermat όμως δεν έκανε όλες αυτές τις διαιρέσεις σύμφωνα με την πρόταση Ερατοσθέση. Όπως μας πληροφόρησε ο "Demetres" στην ανάρτησή μου "Γρίφος Euler", ο Euler έκανε μόνο 4 δοκιμές, γιατί προηγουμένως είχε διατυπώσει κάποιο κριτήριο, που περιόριζε τον αριθμό των δοκιμών.

Το 1880 απεδείχθη από τον Landry ότι και ο F_6

είναι σύνθετος και δέχεται ως διαιρέτη τον 274177

.

Καθώς αυξάνεται το $\nu$ οι αριθμοί $F_\nu$ αυξάνονται αλματωδώς, γι' αυτό ακόμα και με την χρήση των computers είναι δύσκολος ο χαρακτηρισμός, αν ένας $F_\nu$ είναι πρώτος ή σύνθετος, εκτός των λίγων αρχικών $F_\nu$ .

ΙΙ. Θα αποδείξουμε αλγεβρικά ότι το 641/F_5

Είναι $641=5 \cdot 2^{7}+1 \Rightarrow 5 \cdot 2^{7}=641-1\Rightarrow$

$\Rightarrow 5^{4} \cdot 2^{28}=(641-1)^{4} \Rightarrow$

$\Rightarrow 5^{4} \cdot 2^{28}=\kappa 641+1, \kappa \in Z (1)$

Αλλά $641=2^{4}+5^{4} \Rightarrow 5^{4}=641-2^{4} (2)$

Αντικαθιστώ στην (1) το $5^{4}$ με $(641-2^{4})$ από (2) και έχω

$(641-2^{4}) \cdot 2^{28}=\kappa641+1 \Rightarrow 2^{28} \cdot 641-2^{32}=\kappa641+1 \Rightarrow$

$\Rightarrow 2^{28} \cdot 641-641\kappa=2^{32}+1 \Rightarrow$

(θέτω $(2^{28}-\kappa)=\rho$ ) και $641 \cdot ( \underbrace{2^{28}-\kappa}_{\text{r}})=2^{2^{5}}+1 \Rightarrow 641\rho=2^{2^{5}}+1, \rho \in Z \Rightarrow 641/F_5 (F_5=2^{2^{5}}+1)$

ΙΙΙ. Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

Ο Gauss, Γερμανός Μαθηματικός (1777-1855), σε ηλικία 18 ετών απέδειξε την πρόταση:

"Τα μόνα κανονικά πολύγωνα που μπορεί να κατασκευαστούν με κανόνα και διαβήτη είναι εκείνα των οποίων το πλήθος των πλευρών τους είναι της μορφής $2^{\nu}$ με $\nu \geq 2$ και $\nu \in N$ ή $2^{\lambda}F_{\nu_1}F_{\nu_2} ... F_{\nu_\kappa}$ , όπου $\lambda$ μη αρνητικός ακέραιος και $F_{\nu_1}, F_{\nu_2}, ..., F_{\nu_\kappa}$ αριθμοί Fermat, πρώτοι και διαφορετικοί μεταξύ τους"

Τέτοια είναι τα 3, 5, 17, 257, ... κλπ. Το 7/γωνο δεν κατασκευάζεται γιατί δεν είναι αριθμός Fermat. Ούτε το 9/γωνο γιατί είναι γινόμενο $3 \cdot 3$ που δεν είναι διακεκριμένα.

Πηγές
1. Εισαγωγή στην Αριθμοθεωρία: Π. Μάγειρα 1964
2. Θεωρία Αριθμών: Κ. Λάκκη 1979
3. Μαθήματα επιπεδομετρίας: W. Servais-L.Jeronnez 1964, Μετάφραση: Ν. Σωτηράκη

Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

Θεώρημα Gauss για τα κανονικά πολύγωνα

Μέλη σε σύνδεση