2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

#1

Μιας και έκανε ο Γρηγόρης την αρχή για το τέταρτο θέμα, ανοίγω και εγώ ένα ποστ για το 2ο-3ο θέμα.
Για μένα το 2ο και 3ο θέμα θα πρέπει να ελέγχουν βασικές γνώσεις, χωρίς πολλές πράξεις.
Μία πρόταση είναι η παρακάτω. Έχει το μειονέκτημα ότι δεν υπάρχει σύνδεση των ερωτημάτων, αλλά είναι ερωτήματα βασικά, πάνω σε μία απλή συνάρτηση.

Για 3ο Θέμα

Έστω f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

.
α) Δείξτε ότι η

είναι κυρτή και ότι λαμβάνει ελάχιστο σε σημείο x_0

. Μπορείτε να βρείτε διάστημα μήκους 1/2 που να περιέχει το x_0

;

β) Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της

είναι υποσύνολο του $(1/2,+\infty)$ .

γ) Να βρείτε το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(1/x)}}{1-\frac{1}{x}}.$

δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle\int_{2}^3\frac{5x^4}{(x-1)f(x)}\, dx.$

#2

silouan έγραψε:Μιας και έκανε ο Γρηγόρης την αρχή για το τέταρτο θέμα, ανοίγω και εγώ ένα ποστ για το 2ο-3ο θέμα.
Για μένα το 2ο και 3ο θέμα θα πρέπει να ελέγχουν βασικές γνώσεις, χωρίς πολλές πράξεις.
Μία πρόταση είναι η παρακάτω. Έχει το μειονέκτημα ότι δεν υπάρχει σύνδεση των ερωτημάτων, αλλά είναι ερωτήματα βασικά, πάνω σε μία απλή συνάρτηση.

Έστω .
α) Δείξτε ότι η είναι κυρτή και ότι λαμβάνει ελάχιστο σε σημείο . Μπορείτε να βρείτε διάστημα μήκους 1/2 που να περιέχει το ;

β) Δείξτε ότι το σύνολο τιμών της είναι υποσύνολο του $(1/2,+\infty)$ .

...μιά αντιμετώπιση για τα (α), (β) αν και χρειάστηκα αρκετές πράξεις...

α) Είναι η f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1

παραγωγίσιμη δύο φορές ως πολυωνυμική με ${f}'(x)=4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1$ και

${f}''(x)=12{{x}^{2}}+6x+2>0,\,\,\,x\in R$ αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\Delta =36-96=-60<0$ άρα η

είναι κυρτή στο

Τώρα η ${f}'(x)=4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1$ είναι συνεχής ως πολυωνυμική με {f}'(-1)=-4+3-2+1=-2<0

και

άρα

και σύμφωνα με το Θ Bolzano υπάρχει ${{x}_{0}}\in (-1,\,0)$ ώστε ${f}'({{x}_{0}})=0$ και επειδή

{f}''(x)>0

η

είναι γνήσια αύξουσα στο

επομένως για $x<{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)<{f}'({{x}_{0}})=0$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,\,\,{{x}_{0}}]$ και για $x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})=0$

άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{0}},\,\,+\infty )$ επομένως η

παίρνει ελάχιστη τιμή σε σημείο ${{x}_{0}}\in (-1,\,0)$

Επειδή τώρα ${f}'(-\frac{1}{2})=-\frac{4}{8}+\frac{3}{4}-1+1=\frac{1}{4}>0$ και ${f}'(-1){f}'(-\frac{1}{2})<0$ το ${{x}_{0}}\in (-1,\,-\frac{1}{2})$

β) Αν ${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,\,{{x}_{0}}]$ το $f({{\Delta }_{1}})=[f({{x}_{0}}),\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[f({{x}_{0}}),\,\,+\infty )$

και αν ${{\Delta }_{2}}=[{{x}_{0}},\,+\infty )$ το $f({{\Delta }_{2}})=[f({{x}_{0}}),\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x))=[f({{x}_{0}}),\,\,+\infty )$

έτσι το σύνολο τιμών της

είναι $f(R)=[f({{x}_{0}}),\,\,+\infty )$ και αφού θέλουμε να είναι υποσύνολο του $(1/2,+\infty)$ αρκεί να δείξουμε ότι

$f({{x}_{0}})\ge \frac{1}{2}$ ή $x_{0}^{4}+x_{0}^{3}+x_{0}^{2}+{{x}_{0}}+1\ge \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x_{0}^{4}+2x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1\ge 0$ (1) από ${f}'({{x}_{0}})=0$

ισχύει $4x_{0}^{3}+3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1=0\Leftrightarrow 2x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+1=-2x_{0}^{3}-x_{0}^{2}$ έτσι από (1) αρκεί

$2x_{0}^{4}-2x_{0}^{3}-x_{0}^{2}\ge 0\Leftrightarrow x_{0}^{2}(2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}-1)\ge 0$ (2) και αφού

$-1<{{x}_{0}}<-\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{4}<x_{0}^{2}<1\Rightarrow \frac{1}{2}<2x_{0}^{2}<2$ και επίσης

$-1<{{x}_{0}}<-\frac{1}{2}\Rightarrow 2>-2{{x}_{0}}>1\Rightarrow 1<-2{{x}_{0}}<2$

και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει ότι

$\frac{3}{2}<2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}<4\Rightarrow \frac{1}{2}<2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}-1<3$ επομένως η (2) ισχύει.

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Ομοίως για τα α και β , κάπως διαφορετικά από το Βασίλη

α) H $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πολυωνυμική με $\displaystyle{{f}'(x)=4{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2x+1}$
H $\displaystyle{{f}'}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ ως πολυωνυμική με $\displaystyle{{f}''(x)=12{{x}^{2}}+6x+2}$
Το τριώνυμο έχει $\displaystyle{\Delta =36-96=-60<0,\alpha =12>0}$ επομένως $\displaystyle{{f}''(x)>0}$ στο $\displaystyle{R}$ άρα η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο R
Επειδή $\displaystyle{f(0)=1,f(-1)=1}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[-1,0]}$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(-1,0)}$ , από το θ. Rolle , υπάρχει $\displaystyle{{{x}_{0}}\in (-1,0)}$ ώστε $\displaystyle{{f}'({{x}_{0}})=0}$ .
Επειδή $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή στο R ,έχουμε ότι η $\displaystyle{{f}'}$ είναι γνησίως αύξουσα , οπότε
για $\displaystyle{x>{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)>{f}'({{x}_{0}})\Rightarrow {f}'(x)>0\Rightarrow f\nearrow }$ και για $\displaystyle{x<{{x}_{0}}\Rightarrow {f}'(x)<{f}'({{x}_{0}})\Rightarrow {f}'(x)<0\Rightarrow f\searrow }$
Άρα αφού είναι και συνεχής στο $\displaystyle{{{x}_{0}}}$ θα παρουσιάζει ελάχιστο για $\displaystyle{x={{x}_{0}}}$ .
Επειδή $\displaystyle{\,\,{f}'\left( -\frac{1}{2} \right)=-\frac{4}{8}+\frac{3}{4}-1+1=\frac{1}{4}>0}$ και $\displaystyle{{f}'(-1)=-4+3-2+1=-1<0}$
και επειδή η $\displaystyle{{f}'}$ είναι συνεχής , από το θ. Bolzano , έχει ρίζα στο $\displaystyle{\left( -1,-\frac{1}{2} \right)}$ η οποία συμπίπτει με το $\displaystyle{{{x}_{0}}}$ μιας και η $\displaystyle{{f}'}$ ως γνησίως αύξουσα έχει μια ακριβώς ρίζα.
β) Οι εφαπτόμενες στα $\displaystyle{-1,-\frac{1}{2}}$ έχουν εξισώσεις , αντίστοιχα :
$\displaystyle{y=-2x-1}$ και $\displaystyle{16y=4x+13}$ .Το σύστημά τους επιλυόμενο δίνει $\displaystyle{(x,y)=\left( -\frac{29}{36},\frac{11}{18} \right)}$
Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή , η γραφική παράσταση θα είναι πάνω από κάθε εφαπτομένη
άρα και πάνω από την ευθεία $\displaystyle{y=\frac{11}{18}>\frac{9}{18}=\frac{1}{2}}$ . Άρα το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του $\displaystyle{\left( \frac{1}{2},+\infty \right)}$

#4

γ) Υποθέτοντας ότι ο DLH είναι εκτός ύλης …

$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - \sqrt {f(1/x)} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - f(1) - \sqrt {f(1/x)} + f(1)}}{{1 - \frac{1}{x}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sqrt {f(x)} - \sqrt {f(1)} }}{{1 - \frac{1}{x}}} - \frac{{\sqrt {f(1/x)} - \sqrt {f(1)} }}{{1 - \frac{1}{x}}}} \right) \\ \end{array}}$
Όμως
$\displaystyle{\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - \sqrt {f(1)} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x\frac{{\sqrt {f(x)} - \sqrt {f(1)} }}{{x - 1}}} \right) = \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{x}{{\sqrt {f(x)} + \sqrt {f(1)} }}\frac{{f(x) - f(1)}}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt {f(1)} }}f'(1) = \frac{{10}}{{2\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \\ \end{array}}$
και στο δεύτερο θέτοντας $\displaystyle{\frac{1}{x} = u \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} u = 1}$ γίνεται
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(u)} - \sqrt {f(1)} }}{{1 - u}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(u)} - \sqrt {f(1)} }}{{u - 1}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{1}{{\sqrt {f(x)} + \sqrt {f(1)} }}\frac{{f(x) - f(1)}}{{\left( {x - 1} \right)}}} \right) = ... = - \sqrt 5 }$
Τελικά
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f(x)} - \sqrt {f(1/x)} }}{{1 - \frac{1}{x}}} = 2\sqrt 5 }$

Λάμπρος Μπαλός · #5

Για το (γ) κάπως διαφορετικά αφού

$f(\frac{1}{x})=\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}+1=\frac{f(x)}{x^4}$ , το όριο ισούται με

$lim \frac{\sqrt{f(x)} \frac{x^{2}-1}{x^{2}}}{\frac{x-1}{x}} = lim \frac{(x+1) \sqrt{f(x)}}{x}=2 \sqrt{5}$ .

#6

silouan έγραψε:Μιας και έκανε ο Γρηγόρης την αρχή για το τέταρτο θέμα...

Να διευκρινίσω ότι την συζήτηση Αμ΄ έπος αμ΄ έργον την άνοιξα όχι σαν μια συζήτηση προτεινομένων 4ων θεμάτων (π.χ. οι ασκήσεις που προτάθηκαν από μένα είναι πιο κοντά σε αυτό που θεωρώ σαν 3ο θέμα από ότι στο 4ο), αλλά σαν μια ευκαιρία να συζητήσω αυτό που χρόνια έχω κατά νου, όσον αφορά την επιλογή των θεμάτων: Οι έννοιες, τα θεωρήματα, εν ολίγοις τα "εργαλεία" του Απειροστικού Λογισμού είναι ένα θέμα, και τα προβλήματα που μπορούν να αντιμετωπισθούν με αυτά τα εργαλεία είναι ένα άλλο θέμα. Αρκεί να υπάρχει λίγη τόλμη και λίγη φαντασία.

Υ.Γ. Με τα παραπάνω δεν επιθυμώ να ακυρώσω την συζήτηση που άνοιξε ο Σιλουανός. Τουναντίον..Όσες περισσότερες παρόμοιες συζητήσεις, τόσο καλύτερα!

#7

Γρηγόρη, ήταν σαφές αυτό, απλά ο παραλληλισμός που έκανα ήταν μάλλον άστοχος.
Δυστυχώς μόλις είδα ότι στο δ) δεν έγραψα αυτό που ήθελα.
$\displaystyle\int_{2}^3\frac{5x^4}{(x-1)f(x)}\,dx$

Στο πρώτο ερώτημα η λύση μου είναι παρόμοια με τις παραπάνω. Στο τρίτο η λύση μου είναι αυτή του Λάμπρου. Το 2ο ερώτημα είναι ευκολότερο.

#8

Μετά τη διόρθωση στο (δ)

$\displaystyle{\begin{array}{l} \int\limits_2^3 {\frac{{5{x^4}}}{{(x - 1)f(x)}}} \,dx = \int\limits_2^3 {\frac{{5{x^4}}}{{(x - 1)({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)}}} \,dx = \\ \\ = \int\limits_2^3 {\frac{{5{x^4}}}{{{x^5} - 1}}} \,dx = \int\limits_2^3 {\frac{{{{\left( {{x^5} - 1} \right)}^\prime }}}{{{x^5} - 1}}} \,dx = \left[ {\ln |{x^5} - 1|} \right]_2^3 = \ln \frac{{{3^5} - 1}}{{{2^5} - 1}} \\ \end{array}}$

#9

Ωραία! Ένα παρόμοιο θα μπορούσε να είναι:
$\displaystyle\int_{0}^1\frac{5x^4}{(x+1)f(-x)}\,dx$

dement · #10

Για το δεύτερο αρκεί να πάρουμε μόνο την εφαπτομένη στο $\displaystyle A \left( - \frac{1}{2}, \frac{11}{16} \right)$ (με κλίση 1/4

) η οποία διέρχεται από το $\displaystyle B \left( -1, \frac{9}{16} \right)$ . Έτσι, λόγω κυρτότητας και διαστήματος το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του $\displaystyle \left( \frac{9}{16}, + \infty \right) \subset \left( \frac{1}{2}, + \infty \right)$

#11

Ωραία και αυτή η αντιμετώπιση!
Η δική μου είναι με Α Λυκείου

Είναι:

#12

silouan έγραψε:Γρηγόρη, ήταν σαφές αυτό, απλά ο παραλληλισμός που έκανα ήταν μάλλον άστοχος...

...αλλά αποκαταστάσιμος!
Στο εξής στο Αμ΄ έπος αμ΄ έργον δημοσιεύουμε ασκήσεις που αντιστοιχούν στο 4ο (και δυσκολότερο) θέμα!
Για 2ο & 3ο θέμα στην παρούσα δημοσίευση...

#13

silouan έγραψε:Ωραία και αυτή η αντιμετώπιση!
Η δική μου είναι με Α Λυκείου
Είναι:

... Φυσικά . Απλούστατο !!
Το θέμα είναι τι θα γινόταν αν αυτό αποτελούσε ερώτημα του Β΄θέματος .
Θα ήταν ένα νέο Β3 του 14 ;
Ο μέσος υποψήφιος γίνεται "επαγγελματίας" μαθητής μόλις τελειώσει τη Β΄Λυκείου .
Δύσκολα θα πάει το μυαλό του σε πρακτικές της Α΄Λυκείου .

#14

Η ιδέα είναι σε κάθε ερώτημα να υπάρχει σύντομη κομψή λύση. Καθε ερώτημα έχει δύο γραμμές λύση. Αντίθετα αν κάποιος πάρει στραβό δρόμο έχει πράξεις. Θεωρώ ότι αυτό είναι ένα τίμημα που πρέπει να πληρώνει αυτός που πάει απευθείας, και χωρίς να σκεφτεί, προς τη λύση.

nikos_el · #15

Μία ακόμα πρόταση (οριακά τρίτο θέμα... ίσως τέταρτο):
ΘΕΜΑ 2ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g

ορισμένες στο $\mathbb{R}$ και συνεχείς. Για τις συναρτήσεις αυτές ισχύουν:

$\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y),$ $\displaystyle \forall x, y \in \mathbb{R}$
$\displaystyle f(x)=1+P(x)+xg(x),$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ , με $\displaystyle P(x)=2018x^{2017}+\displaystyle 2017x^{2016}+...+3x^2+2x,$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=1$

α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle f'(x)=3f(x)$ , $\displaystyle \forall x\in \mathbb{R}$ .
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle f$ .
Αν $\displaystyle f(x)=e^{3x},$ $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ,
γ)

i) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle f$ αντιστρέφεται και να βρείτε την $\displaystyle f^{-1}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f(x)-3f^{-1}(x)=0$ είναι αδύνατη.

δ) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{\displaystyle \int_{\frac{1}{3}}^{1}3\ln x dx}{e}<e^2-1$ .

KARKAR · #16

Β ΘΕΜΑ 1ο

Πριν γράψω ένα (2ο) θέμα επισημαίνω την εξής γλωσσική αδυναμία : Το σημείο καμπής

είναι φυσικά σημείο . Το ακρότατο όμως είναι σημείο ; Ας δεχθούμε ότι είναι .

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=x^3-3x+1

Β1) α) Δείξτε ότι η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής , δύο τοπικά ακρότατα και τρεις ρίζες .

β) Δείξτε ότι τα ακρότατα και το σημείο καμπής είναι σημεία συνευθειακά .

Β2) Ευθεία με εξίσωση : $y=\lambda x+1$ , διέρχεται από το σημείο καμπής και τέμνει την $C_{f}$

σε δύο ακόμη σημεία . α) Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές του $\lambda$ .

β) Εξηγήστε γιατί τα δύο ( κλειστά ) χωρία που σχηματίζονται από την ευθεία και την $C_{f}$ είναι ισεμβαδικά .

Β3) Από το σημείο A(1,-1)

διέρχεται μία μη οριζόντια εφαπτομένη της $C_{f}$ . Βρείτε το σημείο επαφής .

Εισαγωγή αρίθμησης (Το

δείχνει το βαθμό δυσκολίας και το

ο την αρίθμηση )

#17

KARKAR έγραψε: B2 β) Εξηγήστε γιατί τα δύο ( κλειστά ) χωρία που σχηματίζονται από την ευθεία και την $C_{f}$ είναι ισεμβαδικά .

Μια καμπύλη – που είναι γραφική παράσταση συνάρτησης $\displaystyle{f}$ - είναι συμμετρική ως προς το σημείο $\displaystyle{K(a,b)}$ όταν $\displaystyle{f(a+x)+f(a-x)=2b}$
(Η απόδειξη είναι εύκολη με χρήση της διαμέσου τραπεζίου )
Εδώ είναι $\displaystyle{K(0,1)}$ οπότε θέλουμε $\displaystyle{f(x)+f(-x)=2\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3x+1+(-{{x}^{3}}+3x+1)=2}$ , το οποίο ισχύει .
Ακόμα όλες οι ευθείες της μορφής $\displaystyle{y=\lambda x+1}$ επαληθεύονται από το $\displaystyle{K(0,1)}$ και επομένως διέρχονται από αυτό .
Προφανώς για κάθε $\displaystyle{\lambda \in R}$ οι δύο αντικείμενες ημιευθείες με αρχή το $\displaystyle{K}$ είναι συμμετρικές ως προς αυτό .
Έτσι τα δύο χωρία έχουν ως σύνορα μια καμπύλη και μια ευθεία , συμμετρικές ως προς $\displaystyle{K}$ .
Επομένως ως συμμετρικά σχήματα είναι ισεμβαδικά .

YΓ : Επειδή οι ασκήσεις πληθαίνουν ας μπεί κάποια αρίθμηση , π.χ. ΘΕΜΑ 1ο , 2ο , κτλ

BAGGP93 · #18

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left[-\pi,\pi\right]\to \mathbb{R}$ από τη σχέση

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 1\,\,\,\,\,,0\leq x\leq \pi\\ 0\,\,\,\,\,,-\pi\leq x<0 \end{cases}}$

Α. Να ορίσετε συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ ώστε $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi}\left|g(x)-f(x)\right|\,\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}}$

B. (Σχετίζεται μόνο με την f)

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

$\displaystyle{f_1(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\cos\,(\xi\,x)\,\mathrm{d}x\,\,\,,f_2(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin\,(\xi\,x)\,\mathrm{d}x\,\,\,\,,\xi\in\mathbb{R}}$

και να δείξετε ότι είναι συνεχείς συναρτήσεις του $\displaystyle{\xi\in\mathbb{R}}$ .

Γ. Για κάθε $\displaystyle{\xi\in\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}}$ να δειχθεί ότι

$\displaystyle{f_2^\prime(\xi)=\dfrac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(f(x)\,\sin\,(\xi\,x)\right)\,\mathrm{d}x$

Όμοια για την $\displaystyle{f_1}$ .

M.S.Vovos · #19

Σιλουανέ να' σαι καλά που άνοιξες αυτή τη συζήτηση (το ίδιο και για τον κ. Γρηγόρη)!

Παρακάτω προτείνω ένα θέμα σχετικά εύκολο για 3ο. Δεν έχει τίποτα το ιδιαίτερο, αλλά θαρρώ πως είναι διδακτικό.

Γ Θέμα 4ο

Έστω $\lambda \in \mathbb{R}$ και η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει:
$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+\lambda ^{2}, &x<0 \\ x^{3}+\lambda x+1, &x\geq 0 \end{matrix}\right.}$ Γ1. (i) Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\lambda$ ώστε η

να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

(ii) Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\lambda$ ώστε η

να είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της.

Γ2. Για $\lambda = 1$ , να μελετήσετε την

ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, το σύνολο τιμών και τα σημεία καμπής της, εφόσον υπάρχουν.

Γ3. Για $\lambda = 1$ , να εξετάσετε αν υπάρχουν σημεία της

, στα οποία οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Φιλικά,
Μάριος

#20

KARKAR έγραψε:Β ΘΕΜΑ 1ο

Δίνεται η συνάρτηση :
Β1) α) Δείξτε ότι η συνάρτηση έχει ένα σημείο καμπής , δύο τοπικά ακρότατα και τρεις ρίζες .
β) Δείξτε ότι τα ακρότατα και το σημείο καμπής είναι σημεία συνευθειακά .
Β2) Ευθεία με εξίσωση : $y=\lambda x+1$ , διέρχεται από το σημείο καμπής και τέμνει την $C_{f}$
σε δύο ακόμη σημεία . α) Βρείτε όλες τις πιθανές τιμές του $\lambda$ .
Β3) Από το σημείο διέρχεται μία μη οριζόντια εφαπτομένη της $C_{f}$ . Βρείτε το σημείο επαφής .

Τα υπόλοιπα ...

B1α) Είναι : $\displaystyle{{f}'(x)=3{{x}^{2}}-3}$ και $\displaystyle{{f}''(x)=6x}$
Επίσης : $\displaystyle{{f}'(x)\ge 0\Leftrightarrow x\le -1}$ ή $\displaystyle{x\ge 1}$ κι ακόμα $\displaystyle{{f}''(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0}$
Ο πίνακας μεταβολών της $\displaystyle{f}$ είναι ο παρακάτω όπου έχουν συμπληρωθεί τα όρια , τα ακρότατα και το σημείο καμπής

: πίνακας.png (4.88 KiB) Προβλήθηκε 4498 φορές

Επομένως έχει δύο ακρότατα και ένα σημείο καμπής .
Ακόμα το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle{f(\mathbb{R})=(-\infty ,3]\cup [-1,3)\cup (-1,+\infty )=\mathbb{R}}$ , οπότε από το
θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και λόγω της μονοτονίας σε κάθε διάστημα , έχει τρεις ακριβώς ρίζες στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Β1 β) Τα δύο ακρότατα και το σημείο καμπής είναι τα σημεία $\displaystyle{A(-1,3),B(1,-1),\text{ }\!\!\Gamma\!\!\text{ (0}\text{,1)}}$ κι αφού
$\displaystyle{{\lambda _{AB}} = \frac{{ - 1 - 3}}{{1 - ( - 1)}} = 2,\,\,\,\,{\lambda _{A\Gamma }} = \frac{{ - 1 - ( - 1)}}{{0 - ( - 1)}} = 2}$
, έχουμε $\displaystyle{{\lambda _{AB}} = {\lambda _{A\Gamma }}}$ , οπότε είναι συνευθειακά .
Β2α) Η καμπύλη και η ευθεία έχουν τρία κοινά σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση $\displaystyle{{{x}^{3}}-3x+1=\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ x+1}}$
έχει τρεις λύσεις ως προς $\displaystyle{x}$ .
Αυτή γράφεται $\displaystyle{{{x}^{3}}-3x=\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ x}\Leftrightarrow x[{{x}^{2}}-(\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ +}3)]=0\Leftrightarrow x=0}$ ή $\displaystyle{{{x}^{2}}=\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ +3}}$ .
Η τελευταία έχει δύο λύσεις αν και μόνο αν $\displaystyle{\lambda +3>0\Leftrightarrow \lambda >-3}$ .

Β3) Από το $\displaystyle{A(1,-1)}$ διέρχονται οι μη-κατακόρυφες ευθείες με εξίσωση
$\displaystyle{y+1=k(x-1)\Leftrightarrow y=kx-k-1}$
Για να εφάπτεται στη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$ σε κάποιο σημείο $\displaystyle{M(b,f(b))}$ πρέπει και αρκεί να ισχύει
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} f(b) = kb - k - 1 \\ f'(b) = k \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b^3} - 3b + 1 = kb - k - 1} \\ {3{b^2} - 3 = k} \\ \end{array}} \right.}$
Συνδυάζοντας παίρνουμε την :
$\displaystyle{{{b}^{3}}-3b+1=(3{{b}^{2}}-3)b-3{{b}^{2}}+3-1\Leftrightarrow 2{{b}^{3}}-3{{b}^{2}}+1=0\Leftrightarrow b=1}$ ή $\displaystyle{b=-\frac{1}{2}}$
Αν $\displaystyle{b=1}$ , επειδή $\displaystyle{{f}'(1)=0}$ , η εφαπτόμενη είναι οριζόντια και απορρίπτεται .
Αν $\displaystyle{b=-\frac{1}{2}}$ , επειδή $\displaystyle{{f}'(-\frac{1}{2})\ne 0}$ , είναι δεκτή . Το σημείο επαφής είναι το $\displaystyle{M\left( -\frac{1}{2},f\left( -\frac{1}{2} \right) \right)}$

2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Re: 2ο-3ο Θέμα Πανελλαδικές

Μέλη σε σύνδεση