Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Συντονιστής: spyros
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Ορίζουμε όπου ακέραιος.
i) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
ii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iv) Για ποιες τιμές του η παράσταση είναι σταθερή;
v) Προσθέστε...
i) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
ii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iv) Για ποιες τιμές του η παράσταση είναι σταθερή;
v) Προσθέστε...
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Το iv αποτελούσε το 3ο πρόβλημα στην φετινή μεσογειάδα οπότε αναρτώ την λύση μου.
Αρχικά επιλέγουμε . Έτσι αν είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου τότε .
Μετά επιλέγουμε το να βρίσκεται στο μέσο τόξου . Έτσι έχουμε: .
Οπότε εξισώνοντας τις 2 σχέσεις προκύπτει ότι: ή . Οι 2 λύσεις είναι δεκτές διότι από το θεώρημα Van Schooten, αν
επιλέξουμε τυχαίο σημείο στο τόξο τότε .
Αρχικά επιλέγουμε . Έτσι αν είναι η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου τότε .
Μετά επιλέγουμε το να βρίσκεται στο μέσο τόξου . Έτσι έχουμε: .
Οπότε εξισώνοντας τις 2 σχέσεις προκύπτει ότι: ή . Οι 2 λύσεις είναι δεκτές διότι από το θεώρημα Van Schooten, αν
επιλέξουμε τυχαίο σημείο στο τόξο τότε .
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Ισόπλευρο τρίγωνο σε κύκλο
Κάνω τα πρώτα τρία.socrates έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 15, 2017 1:43 pmΈστω ισόπλευρο τρίγωνο και σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του. Ορίζουμε όπου ακέραιος.
i) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
ii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iii) Αν να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης
iv) Για ποιες τιμές του η παράσταση είναι σταθερή;
v) Προσθέστε...
Χωρίς βλάβη θεωρώ ότι το ανήκει στο μικρό τόξο
i) Είναι .Από είναι άρα .
Επειδή έπεται πως αν το μέσο του μικρού τόξου είναι και όπου η πλευρά του τριγώνου.
ii)Είναι .
Από το δεύτερο θεώρημα Πτολεμαίου στο είναι
Είναι λοιπόν .
Θα δείξω πως αν στο περίκυκλο ώστε τότε .
Πράγματι θα είναι οπότε αρκεί που ισχύει αφού το αριστερό είναι αρνητικό ενώ το δεξί θετικό.Άρα το οποίο δεν ορίζεται άρα δεν παίρνει μέγιστη τιμή.Παίρνει όμως ελάχιστη αφού
iii)
Όπως πριν βρίσκουμε πως η παραπάνω συνάρτηση είναι φθίνουσα και έτσι το οποίο πάλι δεν ορίζεται άρα δεν παίρνει μέγιστη τιμή.Η ελάχιστη θα είναι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 16 επισκέπτες