Τα παιδιά ετοιμάζονται για τις εξετάσεις και ευκαιρία για μια συζήτηση διαφορετική.
Ο Cantor το 1899 μας είπε ότι σύνολο είναι «μια καλά ορισμένη συλλογή στοιχείων, (αντικειμένων) α, β, γ, ... πεπερασμένου ή άπειρου πλήθους» και επίσης το κάθε σύνολο μπορεί το ίδιο να θεωρηθεί στοιχείο ενός συνόλου συνόλων.
Με αφετηρία ένα σύνολο Α μπορούμε να κατασκευάσουμε υποσύνολα όπου θα συμπεριλαμβάνονται ορισμένα μόνο στοιχεία. Αν στο σύνολο Α υπάρχουν ν στοιχεία μπορούμε να κατασκευάσουμε
υποσύνολα. Για κάθε στοιχείο του Α έχουμε δύο δυνατότητες: είτε να το συμπεριλάβουμε σε κάποιο υποσύνολο είτε όχι.
Αν ένα σύνολο περιέχει, για παράδειγμα, 3 στοιχεία, α, β και γ, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε 8 «μέρη»:
{α,β,γ}, {α,β}, {α,γ}, {β,γ}, {α}, {β}, {γ},
.Το πρώτο υποσύνολο περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία του συνόλου, το τελευταίο είναι το «κενό» σύνολο, το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και ανήκει στο «σύνολο των υποσυνόλων οποιουδήποτε συνόλου.
Δηλαδή από άποψης μαθηματικών, «αν ο πληθικός αριθμός ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ν, ο πληθικός αριθμός του συνόλου των υποσυνόλων του είναι
». Είναι φανερό ότι αν ο ν είναι μεγαλύτερος από το 1, το
είναι μεγαλύτερο από το ν. Όπως απέδειξε ο Cantor, η παραπάνω ανισότητα ισχύει ακόμη και όταν ο αριθμός των στοιχείων είναι άπειρος.
Ας διατυπώσουμε τώρα τον εξής συλλογισμό:
Έστω S το σύνολο όλων των συνόλων και P(S) το σύνολο των υποσυνόλων του S, τότε ο πληθικός αριθμός του P(S) είναι, σύμφωνα με το θεώρημα του Cantor, μεγαλύτερος του πληθικού αριθμού του S. Κάθε σύνολο όμως του P(S) είναι ένα από τα στοιχεία του S, επομένως ο πληθικός αριθμός του P(S) μπορεί να είναι μόνο μικρότερος ή ίσος του πληθικού αριθμού του S.
Το παράδοξο σε όλο του το μεγαλείο και η αντίφαση φαίνεται να είναι πλήρης.
Τα παράδοξα μας υποχρεώνουν να κάνουμε ακριβέστερο το λεξιλόγιο μας και βέβαια γνωρίζουμε ότι για να αποφευχθεί το παράδοξο του Cantor, αρκεί να θεωρηθεί απαγορευμένη η αναφορά στο «σύνολο όλων των συνόλων».
Για να αποφύγουμε τέτοια σφάλματα, είναι αναγκαίο να παραθέσουμε με μεγάλη σαφήνεια τους κανόνες του συλλογισμού, να δεχτούμε μερικούς a priori ορισμούς και να σεβαστούμε με αυστηρότητα τους κανόνες που υιοθετήσαμε. Δηλαδή πρέπει να διαθέτουμε ένα αρκετά πλούσιο αξιωματικό σχήμα για να είμαστε σε θέση να απαντήσουμε «αληθής» ή «ψευδής» σxετικά με κάθε πρόταση που έχει νόημα.
Όμως η πεποίθηση ότι ένας ισχυρισμός δεν μπορεί παρά να είναι ή αληθής ή ψευδής είναι σωστή;
H φιλοδοξία να μπορέσουμε να αποφαινόμαστε σε κάθε περίπτωση για την αλήθεια ή για το ψεύδος μιας πρότασης μπορεί να ικανοποιηθεί;
Όλες οι αξιωματικές θεμελιώσεις, όσο πλούσιες κι αν είναι, μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε ισχυρισμούς που έχουν νόημα,
αλλά
μπορούν να αποδείξουν την ορθότητα ή την λάθος όλων των ισχυρισμών που διατυπώνονται;
Αν όχι,
είναι αυτό
- αποτυχία των Μαθηματικών;
ή
- ένα ράπισμα σε κάθε μηχανή όσο τέλεια και αν είναι;