Ρουμάνικος Διαγωνισμός DANIBIUS, 24/4/2010-Tάξη 10η

#1

Καλημέρα στο

. Λίγο πριν αρχίσουμε το μάθημα:
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση με την ιδιότητα $f(f(x))=[x], \forall x \in \mathbb{R}$ ([x]=ακέραιο μέρος του x). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}$ με $a\neq b$ και $|f(a)-f(b)| \geq |sina-sinb|$

#2

s.kap έγραψε:Καλημέρα στο . Λίγο πριν αρχίσουμε το μάθημα:
Έστω $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ συνάρτηση με την ιδιότητα $f(f(x))=[x], \forall x \in \mathbb{R}$ ([x]=ακέραιο μέρος του x). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν $a,b \in \mathbb{R}$ με $a\neq b$ και $|f(a)-f(b)| \geq |sina-sinb|$

Αν

και

, τότε $a\ne b$ , αφού $f(a)=4\ne 1=f(b)$ .

Επιπλέον,

$|f(a)-f(b)|=3>2\geq |\sin a-\sin b|$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

Αχιλλέα σε ευχαριστώ διπλά. Και για την απάντηση στο θέμα αυτό και για την απάντηση στο θέμα "οικογένεια συναρτήσεων".
Παρότι η δική σου λύση είναι πιο κομψή, ας δούμε και μία άλλη, έτσι για πλουραλισμό
Με απαγωγή σε άτοπο:Αν $|f(a)-f(b)| \leq |a-b|, \forall a,b \in \mathbb{R}$ , τότε η

θα είναι συνεχής στους πραγματικούς, άρα συνεχής στους πραγματικούς θα είναι και η $f(f(x))=[x], x \in \mathbb{R}$ , άτοπο, γιατί η τελευταία παρουσιάζει ασυνέχεια στα ακέραια σημεία.
Φιλικά

Ρουμάνικος Διαγωνισμός DANIBIUS, 24/4/2010-Tάξη 10η

Ρουμάνικος Διαγωνισμός DANIBIUS, 24/4/2010-Tάξη 10η

Re: Ρουμάνικος Διαγωνισμός DANIBIUS, 24/4/2010-Tάξη 10η

Re: Ρουμάνικος Διαγωνισμός DANIBIUS, 24/4/2010-Tάξη 10η

Μέλη σε σύνδεση