Πόσα μηδενικά?

[nick-mathsfan]

Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:
α=1*2*3*4*5*...*99*100?

Ωραία άσκηση!!!!

[KARKAR]

Μιά πρόχειρη απάντηση : σε (!)

Κάθε δεκάδα από έχει ένα πολλαπλάσιο του και ένα ,

που με ένα από τους ζυγούς ξαναδίνει .

Συνεπώς οι αυτές δεκάδες δίνουν μηδενικά στην κατάληξη του αριθμού ,

και αν προσθέσουμε τα μηδενικά της τελευταίας (λόγω του ) , φθάνω το (και κερδίζω στο στούκι !)

Σημείωση : Τα άλλα γινόμενα δεν δίνουν λήγοντα .

[nonlinear]

Η απάντηση από ένα πακέτο είναι : 24

100!=93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217\
5999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168\
64000000000000000000000000

[matha]

Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:
α=1*2*3*4*5*...*99*100?

Ωραία άσκηση!!!!

Πρόκειται για κλασικό πρόβλημα.

Αρκεί να βρούμε τον εκθέτη του στην παραγοντοποίηση σε πρώτους παράγοντες του αριθμού . Αυτό μπορεί να γίνει με μέτρημα και βρίσκουμε

Γενικά, ο εκθέτης στον οποίο εμφανίζεται υψωμένος ο πρώτος αριθμός κατά την παραγοντοποίηση σε πρώτους του θετικού ακέραιου δίνεται από το (πεπερασμένο) άθροισμα

.

Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε

[KARKAR]

Να πάρει ! Κάηκα !

[Demetres]

Να πάρει ! Κάηκα !

Ίσως να το έχεις ήδη προσέξει αλλά να προσθέσω για τους υπόλοιπους ότι το λάθος βρίσκεται στο ότι τα 25,50 και 75 είναι πολλαπλάσια του και όχι μόνο του 5 άρα δίνουν από ένα επιπλέον μηδενικό.

[nick-mathsfan]

Και ναι σωστή απάντηση είναι το 24.

Να η λύση μου:
Τα μηδενικά στο τέλος του αριθμού μάς δείχνουν με ποια δύναμη του 10 πολλαπλασιάζεται ο αριθμός. Έτσι ψάχνουμε να βρούμε πόσα δεκάρια προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό 1•2•3•4•...•100

Όμως 10=2•5 άρα αρκεί να μετρήσω ποσά 2 και ποσά 5 υπάρχουν από το 1 ως το 100
100/2=50 και 100/5=20 άρα υπάρχουν 50 ζυγοί αριθμοί και 20 πεντάρια

Μόνο όμως τα 20 πεντάρια θα πολλαπλασιάσουμε άρα δεν με ενδιαφέρουν οι υπόλοιποι 30 ζυγοί

Υπάρχουν όμως και οι δυνάμεις του 5 που είναι:
25=5•5
50=2•5•5
75=3•5•5
100=4•5•5

Δηλαδή 4 συνολικά
Άρα υπάρχουν συνολικά 20 πεντάρια και 4 δυνάμεις του 5. 20+4=24

Άρα ο αριθμός 1•2•....•100 θα τελειώνει σε 24 μηδενικά ψηφιά

Έγινε επεξεργασία: Μετατροπή κεφαλαίων σε πεζά. Καλωσορίζοντας τον nick-mathsfan, τον παρακαλούμε να γράφει σε πεζά ελληνικά, σύμφωνα με τον κανονισμό.
Γ.Ρ.