Τρένα και μύγα

Γιώργος Απόκης · #1

Eίναι παλιό και (πιθανώς) συζητημένο αλλά ας το γράψω:

Δυο τρένα βρίσκονται αρχικά ακίνητα σε απόσταση 600 km. Στο πρώτο τρένο υπάρχει μια μύγα η οποία μπορεί να κινηθεί με ταχύτητα 100 km/h.
Τα τρένα αρχίζουν να κινούνται το ένα προς το άλλο με ταχύτητες 80 και 70 km/h. Tαυτόχρονα αρχίζει να κινείται η μύγα,
η οποία κάθε φορά που συναντά ένα τρένο κάνει αναστροφή και (χωρίς να χαθεί χρόνος) κινείται με αντίθετη ταχύτητα.
Το ζητούμενο είναι πόσα km θα έχει διανύσει η μύγα μέχρι τα τρένα να τη συντρίψουν;

Edit: Οι κινήσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση

#2

Ωραιότατο αλλά πολυσυζητημένο: Αφού τα τρένα θα συναντηθούν σε 4 ώρες (διότι απέχουν 600χλμ και η σχετική τους ταχύτητα είναι 70+80=150 χλμ/h), η μύγα θα κινηθεί $100 \times 4 = 400$ χλμ (αδιαφορούμε για πόσα ζιγκ ζαγκ θα κάνει).

Μ.

parmenides51 · #3

την έχουμε ξαναδεί με άλλα νούμερα
-> εδώ 3η δημοσίευση
-> εδώ
-> εδώ άσκηση 6

Kostas01 · #4

Πόσες είναι οι αναστροφές της πορείας που έκανε η μύγα;
Κατά την ώρα της σύγκρουσης, ποιά κατεύθυνση είχε η μύγα; (Αυτό είναι εύκολο, αν υπολογιστούν οι αναστροφές)

Γιώργος Απόκης · #5

Κώστα καλημέρα! Θα βρεθούμε προ εκπλήξεως(;) αν προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στα δύο ερωτήματά σου...

Kostas01 · #6

Γιατί; Δεν είναι πεπερασμένος ο αριθμός αναστροφών; Δεν ξέρω, ρωτώ.

Χμμμ, επειδή υποθέτω ότι μάλλον ο αριθμός αναστροφών πάει για άπειρο, εξαιτίας του ότι η μύγα λαμβάνεται σαν σημείο χωρίς δαστάσεις, ας θεωρήσουμε ότι η μύγα (μυγαράκι για την ακρίβεια) έχει "πάχος" 1 mm.

Kostas01 · #7

Με τον βασικό τύπο v=s/t

, και με την βοήθεια του excel, βρίσκουμε ότι μετά την 10 αναστροφή, (θεωρώντας ότι η μύγα ξεκίνησε από το τρένο των 80 km/h

, και ότι η πρώτη αναστροφή έγινε όταν συνάντησε το τρένο των 70 km/h

), η απόσταση ανάμεσα στα δύο τρένα είναι περίπου 1,74 mm

.
Αρα η μύγα έχει κάνει 10 αναστροφές, κατευθύνεται προς το τρένο των 70 km/h

, και .... επέρχεται το μοιραίο.

Η λύση παραμένει η ίδια (δηλαδή, 10 αναστροφές) για όλες τις τιμές της αρχικής απόστασης μεταξύ των τρένων από τα 345.025 m (345 km) μέχρι και τα 2.932.714 m (2933 km), και φυσικά εφόσον οι ταχύτητες παραμένουν οι ίδιες.

#8

George73 έγραψε:Eίναι παλιό και (πιθανώς) συζητημένο..

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ωραιότατο αλλά πολυσυζητημένο..

To πρόβλημα πράγματι είναι παλιό και έχει και μία ιστορία στην οποία εμπλέκεται ο John von Neumann. Την έχει απαθανατίσει ο Paul Halmos άρθρο του "Ο Θρύλος του John von Neumann" που υπάρχει εδώ και εκεί στο διαδίκτυο και έχει δημοσιευθεί σε μετάφραση στο τεύχος 8 (1977) της Μαθηματικής Επιθεώρησης της ΕΜΕ (http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4447)
'Oταν κάποιος έθεσε το ερώτημα στον von Neumann αυτός βρήκε την απάντηση αμέσως. Οπότε ο άλλος απογοητευνένος παρατήρησε "Αδύνατο, κάπου έχετε ακούσει το κόλπο!. Και ο von Neumann αφελώς: "κόλπο; τι εννοείτε; όλο κι όλο που έκανα είναι να βρω το άθροισμα της σειράς!".
Στη θαυμάσια ταινία 'Ενας Υπέροχος Άνθρωπος" (A Beautiful Mind) o Νας, σε προχωρημένη ηλικία, φέρεται να αφηγείται το πρόβλημα αυτό στους φοιτητές.
Μαυρογιάννης

Γιώργος Απόκης · #9

Καταπληκτική η ιστορία με τον von Neumann!

Θα απαντήσω στο ερώτημα του Κώστα αλλά θεωρώ (για ευκολία) ότι τα τρένα έχουν ίσου μέτρου ταχύτητες (75km/h).
Η απάντηση του αρχικού προβλήματος δεν αλλάζει (400 km) ... ο φίλος Κώστας ας τρέξει πάλι το excel!

Αν θεωρήσουμε ότι η μύγα έχει μήκος $1mm=10^{-6}km$ και ονομάσουμε d_n

την απόσταση των τρένων μετά από

"ζιγκ" ή "ζαγκ" της μύγας, τότε:

Ο χρόνος που χρειάζεται κάθε φορά η μύγα για φτάσει από το ένα τρένο στο άλλο (και να γίνει η απόσταση $d_{n+1}$ ) είναι $\displaystyle{t_n=\frac{d_n}{100+75}}$ , άρα τα τρένα θα έχουν καλύψει απόσταση

$\displaystyle{150\cdot t_n=150\cdot \frac{d_n}{100+75}=\frac{6}{7}d_n}$ . H νέα απόσταση θα είναι $\displaystyle{d_{n+1}=d_n-\frac{6}{7}d_n=\frac{1}{7}d_n}$ . Δηλαδή, έχουμε γεωμετρική πρόοδο με λόγο $\displaystyle{\lambda=\frac{1}{7}}$ και "πρώτο" όρο d_0=600

. Επομένως,

θα ισχύει $\displaystyle{d_n=\frac{600}{7^n},n=0,1,...}$ . Τώρα, θέλουμε $\displaystyle{d_n<10^{-6}\Leftrightarrow \frac{600}{7^n}<10^{-6}\Leftrightarrow 7^n>600\cdot 10^6\Leftrightarrow n>log_7(6\cdot 10^8)\simeq 10.387}$ , και αφού $n \in \mathbb N$ , έχουμε $n\geq 11$ .

Tελικά, θα συντριβεί η μύγα στα 11 ζιγκ ζαγκ. (6 ζιγκ και 5 ζαγκ)!

Kostas01 · #10

Η πρώτη φορά που η απόσταση των δύο τρένων, είναι μικρότερη από 1 mm, είναι όντως μετά τη Νο.11 αναστροφή. Αλλά η μύγα θα έχει ήδη συντριβεί πριν από αυτήν την αναστροφή (αφού η απόσταση των τρένων είναι ήδη μικρότερη από 1 mm). Δηλαδή μετά από 10 αναστροφές.

Γιώργος Απόκης · #11

Έχεις δίκιο Κώστα! Την είδα "διακριτά" την άσκηση, ενώ οι κινήσεις είναι προφανώς συνεχείς...

Τρένα και μύγα

Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Re: Τρένα και μύγα

Μέλη σε σύνδεση