Το οικόπεδο της ξανθιάς

KARKAR · #1

Η κυρία Ασκεψίδου έχει στην κατοχή της τριγωνικό οικόπεδο , που είναι περιφραγμένο με συρματόπλεγμα μήκους 120 m

Στην εφορία το δηλώνει , με εμβαδόν $700m^{2}$

Εξηγήστε της , ( λεπτομερώς για να καταλάβει ! ) , τι ακριβώς συμβαίνει ...

Γιώργος Απόκης · #2

Θα αποδείξουμε ότι από όλα τα τρίγωνα με δοσμένη περίμετρο, το μέγιστο εμβαδό έχει το ισόπλευρο.
Απόδειξη
Έστω τρίγωνο ABC

με

: σταθερό. Από τον τύπο του Ήρωνα, για το εμβαδό του, έχουμε $E=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ .

Aφού ο παράγοντας

είναι σταθερός, αρκεί να μεγιστοποιήσουμε το γινόμενο (s-a)(s-b)(s-c)

. Παρατηρούμε ότι οι παράγοντες του

γινομένου έχουν σταθερό άθροισμα s-a+s-b+s-c=3s-2s=s

, άρα πρέπει οι τρεις παράγοντες να είναι ίσοι.

Εύκολα τώρα προκύπτει ότι a=b=c

, άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Στο πρόβλημά μας τώρα, από τα τρίγωνα με περίμετρο 120

, μέγιστο εμβαδό έχει το ισόπλευρο (πλευράς

).

Άρα, η μέγιστη τιμή του εμβαδού είναι $\displaystyle{E_{max}=\frac{40^2\sqrt{3}}{4}=400\sqrt{3}<700}$ , δηλ. η ξανθιά πληρώνει παραπάνω φόρο!

Σημ. Δεν ξέρω αν η απόδειξη ήταν αρκετά αναλυτική...

Το οικόπεδο της ξανθιάς

Το οικόπεδο της ξανθιάς

Re: Το οικόπεδο της ξανθιάς

Μέλη σε σύνδεση