Ποιά είναι ψηλότερη;

ealexiou · #1

Σε μία έκταση ένας παραγωγός φύτεψε πορτοκαλιές σε ορθογώνια διάταξη των

γραμμών και

στηλών. Όταν μεγάλωσαν, ανά δύο διαφορετικού ύψους, ο παραγωγός διάλεξε την κοντύτερη πορτοκαλιά σε καθεμία από τις στήλες και, στη συνέχεια, σημάδεψε την ψηλότερη από αυτές με το γράμμα

.
Στη συνέχεια, ο αγρότης διάλεξε την ψηλότερη πορτοκαλιά από κάθε μία από τις γραμμές και σημάδεψε την πιο κοντή από αυτές με το γράμμα

. Ποια είναι ψηλότερη πορτοκαλιά η

ή η

;

Ευθύμης

#2

ealexiou έγραψε:Σε μία έκταση ένας παραγωγός φύτεψε πορτοκαλιές σε ορθογώνια διάταξη των γραμμών και στηλών. Όταν μεγάλωσαν, ανά δύο διαφορετικού ύψους, ο παραγωγός διάλεξε την κοντύτερη πορτοκαλιά σε καθεμία από τις στήλες και, στη συνέχεια, σημάδεψε την ψηλότερη από αυτές με το γράμμα .
Στη συνέχεια, ο αγρότης διάλεξε την ψηλότερη πορτοκαλιά από κάθε μία από τις γραμμές και σημάδεψε την πιο κοντή από αυτές με το γράμμα . Ποια είναι ψηλότερη πορτοκαλιά η ή η ;

Ισχύει πάντα $P\le Q$ . Πράγματι, έστω $P_{ij}$ το ύψος της πορτοκαλιάς στην

γραμμή και

στήλη. Οι

είναι κάποιες από αυτές, οπότε για κάποια a,b,c,d

είναι $P=P_{ab}, \, Q = P_{cd}$ . Είναι τότε $P=P_{ab} \le P_{cb}$ (διότι η $P_{ab}$ είναι η κοντύτερη στην

στήλη) και η $P_{cb}$ με την σειρά της ικανοποιεί $P_{cb} \le P_{cd}=Q$ (διότι η $P_{cd}$ είναι η ψηλότερη στην

γραμμή). Τελικά $P\le Q$ .

Ας προσθέσω ότι η ανισότητα μπορεί να είναι γνήσια. Για παράδειγμα στην διάταξη $\begin{pmatrix} 1&4 \\ 3 &2 \end{pmatrix}$ είναι P=2,Q =3

.

Ένα δεύτερο παράδειγμα που δείχνει πιο γλαφυρά ότι μπορεί να έχουμε γνήσια ανισότητα είναι: Βάζουμε από έναν νάνο σε κάθε στήλη και από έναν γίγαντα σε κάθε γραμμή. Έτσι ο πιο ψηλός από τους νάνους δεν παύει να είναι νάνος και άρα πιο κοντός από τον πιο κοντό γίγαντα, που δεν παύει να είναι γίγαντας.

Μ.

#3

Μια διαφορετική προσέγγιση. (Αν και κατ' ουσίαν το επιχείρημα είναι το ίδιο.)

Δυο παίκτες, ας τους ονομάσουμε Α και Β θα παίξουν το εξής παιγνίδι: Ο Α θα επιλέξει μια σειρά από πορτοκαλιές και ο Β μια στήλη από πορτοκαλιές. Στόχος του Α είναι η κοινή πορτοκαλιά να είναι όσο το δυνατόν κοντύτερη. Στόχος του Β είναι η κοινή πορτοκαλιά να είναι όσο το δυνατόν ψηλότερη.

Ο Α μπορεί να παίξει ώστε η κοινή πορτοκαλιά να έχει ύψος το πολύ

. Πράγματι απλά επιλέγει την σειρά που βρίσκεται η πορτοκαλιά με ύψος

. Όλες οι άλλες πορτοκαλιές αυτής της σειράς είναι κοντύτερες και άρα όποια στήλη και να επιλέξει ο Β, η κοινή πορτοκαλιά θα έχει ύψος το πολύ

.

Ο Β μπορεί να παίξει ώστε η κοινή πορτοκαλιά να έχει ύψος τουλάχιστον

. Πράγματι απλά επιλέγει την στήλη που βρίσκεται η πορτοκαλιά με ύψος

. Όλες οι άλλες πορτοκαλιές αυτής της στήλης είναι ψηλότερες και άρα όποια σειρά και να επιλέξει ο Α, η κοινή πορτοκαλιά θα έχει ύψος τουλάχιστον

.

Είναι άμεσο τώρα ότι $P \leqslant Q$ .

$\rule{500pt}{1pt}$

Τα πιο πάνω σχετίζονται με την θεωρία παιγνίων. Υπάρχει ένα θεώρημα του von Neumann που για το συγκεκριμένο παιγνίδι λέει το εξής: Υπάρχει μια τιμή

και μη αρνητικοί ακέραιοι $p_1,\ldots,p_{15},q_1,\ldots,q_{20}$ με $p_1 + \cdots + p_{15} = q_1 + \cdots + q_{20} = 1$ ώστε

1) Αν ο Α επιλέξει την σειρά

με πιθανότητα p_i

, όποια στρατηγική και να ακολουθήσει ο Β (ακόμη και αν είναι μεικτή), το μέσο ύψος της πορτοκαλιάς θα είναι το πολύ

.

2) Αν ο Α επιλέξει την στήλη

με πιθανότητα q_i

, όποια στρατηγική και να ακολουθήσει ο Α (ακόμη και αν είναι μεικτή), το μέσο ύψος της πορτοκαλιάς θα είναι τουλάχιστον

.

Με μεικτή στρατηγική εννοούμε να επιλέξει και ο άλλος παίκτης την στήλη/σειρά χρησιμοποιώντας πιθανότητες.

Ποιά είναι ψηλότερη;

Ποιά είναι ψηλότερη;

Re: Ποιά είναι ψηλότερη;

Re: Ποιά είναι ψηλότερη;

Μέλη σε σύνδεση