mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Μαρ 20, 2017 7:55 pm**

Να λυθεί η εξίσωση : $2^{2+x}+2^{2-x}=x^2+x+8$ ( Ακατάλληλη για διαγώνισμα ! )

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 21, 2017 2:15 pm**

KARKAR έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση : $2^{2+x}+2^{2-x}=x^2+x+8$ ( Ακατάλληλη για διαγώνισμα ! )

Επαναφέρω το θέμα (το οποίο δε κατάφερα να λύσω ) και δίνω μόνο τις λύσεις x=0

,

. ( τις οποίες βρήκα με λογισμικό )

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 21, 2017 3:09 pm**

Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x^2+x+8-2^{2+x}-2^{2-x}}$ έχει

$\displaystyle{f''(x)=2-\ln ^22(2^{2+x}+2^{2-x})<2-8\ln ^22<0,}$

αφού

$\displaystyle{2^{2+x}+2^{2-x}\geq 2\sqrt{2^{2+x}2^{2-x}}=8.}$

Άρα η $\displaystyle{f}$ δεν έχει περισσότερες από δύο ρίζες.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 21, 2017 3:33 pm**

KARKAR έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση : $2^{2+x}+2^{2-x}=x^2+x+8$ ( Ακατάλληλη για διαγώνισμα ! )

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια εκτός φακέλου με ύλη Γ΄Λυκείου.
Θεωρώ την συνάρτηση $f(x) = 2^{2+x}+2^{2-x}-x^2-x-8$ .
Είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $f' (x) = 2^{2+x}\cdot ln 2-2^{2-x} \cdot ln 2 -2x -1.$
Ομοίως f' :

παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $f'' (x) = 2^{2+x}\cdot ln^2 2-2^{2-x} \cdot ln^2 2 -2 .$
Επίσης f'' :

παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με $f''' (x) = 2^{2+x}\cdot ln^3 2-2^{2-x} \cdot ln^3 2 .$
Στη συνέχεια έχουμε: $f''' (x) = 2^{2+x}\cdot ln^3 2-2^{2-x} \cdot ln^3 2 = ln^3 2 (2^{2+x}-2^{2-x} )= ln^3 2 \cdot \dfrac{4(2^{2x}-1)}{2^x}.$

Τώρα ισχύει : $f'''(x)<0,\,\,\,\ \forall x\in (-\infty ,0 ) \Rightarrow f'' :$ γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,0 )$
και $f'''(x)>0,\,\,\,\ \forall x\in (0,+\infty ) \Rightarrow f'' :$ γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty )$ .
Συνεπώς η f''

παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $x_{o} = 0 ,$ το $f''(0) = ln^{2} 2 \left ( 2^2+2^2 \right )-2=2\left ( 4ln^2 2-1 \right ).$
Είναι : $ln^2 2 >\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow ln 2 >\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow ln 2 >ln e^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow 2 >e^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow 4>e ,$ το οποίο ισχύει.

Άρα $f''(x)>0 ,\,\,\,\forall \,x\in \mathbb{R}$ .

Προφανείς λύσεις της

είναι οι

και

Έστω ότι η

έχει τρεις λύσεις : $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ στο $\mathbb{R}$ με $p_{1}< p_{2}< p_{3}$ .

Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για την

στα διαστήματα : $[p_{1}, p_{2}]$ και $[p_{2}, p_{3}]$ .
Επομένως υπάρχουν $\xi _{1} \in \left ( p_{1},p_{2} \right )$ και $\xi _{2} \in \left ( p_{2},p_{3} \right )$ τέτοια ώστε:
$f'\left ( \xi_{1}\right )=f'\left ( \xi_{2}\right )= 0.$
Επίσης ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle για την

στο διαστημα : $[\xi_{1}, \xi_{2}]$ .

Επομένως υπάρχει $\xi \in \left ( \xi _{1},\xi _{2} \right )$ τέτοιο ώστε: $f''\left ( \xi\right ) = 0.$ Άτοπο.

Άρα μοναδικές λύσεις οι x=0

και

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΥΓ. Τώρα βλέπω ότι στην ουσία λέμε τα ίδια με τον matha . Την αφήνω για τον κόπο της πληκτρολόγησης.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μαρ 21, 2017 3:57 pm**

Χωρίς παρεξήγηση, μπορούμε να σταματήσουμε στην δεύτερη παράγωγο χρησημοποιώντας την γνωστή σχολική ανισότητα χ + 1/χ >2 (ή ίσο) η' όπως το πήγε ο matha. Πάντως δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη για διαγώνισμα!!