Εξίσωση για παντογνώστες

KARKAR · #1

Ο

είναι ένας πραγματικός αριθμός . Να διερευνηθεί η εξίσωση :

$x^2+kx+2=\sqrt{x+4}$ , με χρήση οποιωνδήποτε γνώσεων !

#2

$\displaystyle{{{x}^{2}}+kx+2=\sqrt{x+4}}$

Η εξίσωση έχει τη ρίζα $\displaystyle{x=0}$ για κάθε τιμή του $\displaystyle{k}$
Με $\displaystyle{x\ne 0}$ και $\displaystyle{x\ge -4}$ γράφεται :
$\displaystyle{{{x}^{2}}+kx+2=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow x+k=\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\Leftrightarrow k=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}-x}$
Η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}-x}$ είναι γνησίως φθίνουσα για $\displaystyle{x\ge -4}$
και παρουσιάζει μέγιστο το $\displaystyle{\frac{9}{2}}$ για $\displaystyle{x=-4}$
Αν το $\displaystyle{k\le \frac{9}{2}}$ τότε η ευθεία $\displaystyle{y=k}$ θα τέμνει τη $\displaystyle{{{C}_{f}}}$
μια φορά ακόμα
Τελικά η εξίσωση έχει δυο ρίζες αν $\displaystyle{k\le \frac{9}{2}}$ και $\displaystyle{k \ne 0}$ και μία αν $\displaystyle{k>\frac{9}{2}}$ ή $\displaystyle{k = 0}$

KARKAR · #3

: k=4.5.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

: k=0.25.png (10.03 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

: k_4.5.png (13.87 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

: k__4.5.png (13.68 KiB) Προβλήθηκε 616 φορές

Στα σχήματα φαίνονται οι τέσσερις περιπτώσεις . Ας σημειωθεί ότι η μοναδική ρίζα , λόγω επαφής

δεν συμβαίνει για k=0

αλλά για $k=\dfrac{1}{4}$ , ( γιατί ; )

nikkru · #4

KARKAR έγραψε:k=4.5.pngk=0.25.pngk_4.5.pngk__4.5.png

Στα σχήματα φαίνονται οι τέσσερις περιπτώσεις . Ας σημειωθεί ότι η μοναδική ρίζα , λόγω επαφής

δεν συμβαίνει για αλλά για $k=\dfrac{1}{4}$ , ( γιατί ; )

Για

η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $\left ( \sqrt{x+4}-2 \right )^2\left ( 4\sqrt{x+4}^2+16\sqrt{x+4}+17 \right ) =0$
που έχει διπλή ρίζα το

.

Εξίσωση για παντογνώστες

Εξίσωση για παντογνώστες

Re: Εξίσωση για παντογνώστες

Re: Εξίσωση για παντογνώστες

Re: Εξίσωση για παντογνώστες

Μέλη σε σύνδεση