Με την απλούστερη τριγωνομετρία

KARKAR · #1

: Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 620 φορές

Με πλευρά την υποτείνουσα του " 3-4-5

" ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

σχεδιάσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο BCD

. Υπολογίστε το τμήμα

,

χρησιμοποιώντας όσο γίνεται απλούστερη τριγωνομετρία !

#2

Μια προσπάθεια. Με το σχήμα του Θανάση, δίχως καμμία βοηθητική.

: Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Έστω $\displaystyle \widehat {ACB} = \varphi$ , οπότε $\displaystyle \eta \mu \varphi = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{5},\;\;\sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{3}{5}$ .

Οπότε στο CAD

είναι

$\displaystyle A{D^2} = {3^2} + {5^2} - 2 \cdot 3 \cdot 5\sigma \upsilon \nu \left( {60^\circ + \varphi } \right) = 34 - 30\left( {\sigma \upsilon \nu 60^\circ \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi - \eta \mu 60^\circ \cdot \eta \mu \varphi } \right) =$

$\displaystyle = 34 - 15\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi - \sqrt 3 \eta \mu \varphi } \right) = 34 - 3\left( {3 - 4\sqrt 3 } \right) = 25 + 12\sqrt 3$

Άρα $\displaystyle AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 }$ .

#3

KARKAR έγραψε:Μήκος με ελάχιστη τριγωνομετρία.pngΜε πλευρά την υποτείνουσα του "" ορθογωνίου τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

σχεδιάσαμε το ισόπλευρο τρίγωνο . Υπολογίστε το τμήμα ,

χρησιμοποιώντας όσο γίνεται απλούστερη τριγωνομετρία !

Χωρίς Τριγωνομετρία.

: Χωρίς Τριγωνομετρία....png (13.25 KiB) Προβλήθηκε 562 φορές

Έστω

το μέσο του

και

Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο ABMC:

$\displaystyle{\frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 4 + 3 \cdot \frac{5}{2} = 5x \Leftrightarrow }$ $\boxed{x = \frac{{4\sqrt 3 + 3}}{2}}$

Θεώρημα διαμέσων στο ABD:

$\displaystyle{A{D^2} + 16 = 2{\left( {\frac{{4\sqrt 3 + 3}}{2}} \right)^2} + \frac{{25}}{2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } }$

#4

Άλλη μία χωρίς Τριγωνομετρία.

Γράφουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ACE

στην πλευρά

. Τότε τα τρίγωνα $ACD, \,ECB$ είναι ίσα καθώς $AC=EC, \, CD=CB$ και έχουν ίσες περιεχόμενες γωνίες. Άρα AD=EB

οπότε υπολογίζουμε την

. Αλλά αυτό είναι άμεσο από το Πυθαγόρειο στο EFB

που έχει

και $FB=FA+AB= \sqrt 3 /2 +4$ . Και λοιπά.

#5

: με την πιο εύκολη τριγωνομετρία.png (30.37 KiB) Προβλήθηκε 539 φορές

Δυο λογάκια σε λίγο.

Γράφω τον κύκλο (A,B,C)

που έχει κέντρο το μέσο

του

.

$\cos (\widehat {AOD}) = \cos (90^\circ + 2\theta ) = - \sin 2\theta = - 2\sin \theta \cos \theta = - \dfrac{{24}}{{25}}$ .

Από το Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle AOD$ έχω :

$A{D^2} = O{A^2} + O{D^2} - 2OA \cdot OD \cdot \cos (\widehat {AOD)}$ . Άρα

$A{D^2} = \dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{75}}{4} - 2\dfrac{5}{2}\dfrac{{5\sqrt 3 }}{2}( - \dfrac{{24}}{{25}}) = 25 + 12\sqrt 3$ . Οπότε $\boxed{AD = \sqrt {25 + 12\sqrt 3 } }$

KARKAR · #6

: Με την απλούστερη τριγωνομετρία.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές

Φυσικά η απλούστερη τριγωνομετρία είναι ... η καθόλου . Αλλά αφού επιτρέπεται λίγη :

Επειδή AD=EB

( Λάμπρου ) και $\widehat{EAB}=150^0$ , με νόμο συνημιτόνου στο EAB

,

προκύπτει $AD=\sqrt{25+12\sqrt{3}}$ . Αυτή ήταν και η ιδέα-αφορμή της ανάρτησης !

Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Re: Με την απλούστερη τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση