Ισομήκεις ζητωκραυγές !

KARKAR · #1

: Ισομήκεις ζητωκραυγές.png (8.79 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

Το τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , ενώ το ADC

ισόπλευρο .

Οι AD , CB

τέμνονται στο σημείο

, οι προεκτάσεις των AB,CD

στο

.

Δείξτε ότι AS=BP

. Δείτε αργότερα κι άλλες ( πολλές ελπίζω ! ) λύσεις

#2

: Ισομήκεις ζητωκραυγές.png (33.65 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Από την Ισότητα των τριγώνων: SAB

και

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε:Ισομήκεις ζητωκραυγές.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , ενώ το ισόπλευρο .

Οι τέμνονται στο σημείο , οι προεκτάσεις των στο .

Δείξτε ότι . Δείτε αργότερα κι άλλες ( πολλές ελπίζω ! ) λύσεις

Εστω ότι $BP=x,AS=y,SG\perp AB,$
Τότε
$2a=a+DP\Leftrightarrow DP=a,a=AC=AB=CD, (x+a)^{2}+a^{2}=4a^{2}\Leftrightarrow x=BP=a(\sqrt{3}-1),(1) SG=GB=\dfrac{y}{2},AG=a-\dfrac{y}{2},y^{2}=\dfrac{y^{2}}{4}+(a-\dfrac{y}{2})^{2}\Leftrightarrow y=a(\sqrt{3}-1),(2), (1),(2)\Rightarrow x=y$

Γιάννης

#4

KARKAR έγραψε:Ισομήκεις ζητωκραυγές.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , ενώ το ισόπλευρο .

Οι τέμνονται στο σημείο , οι προεκτάσεις των στο .

Δείξτε ότι . Δείτε αργότερα κι άλλες ( πολλές ελπίζω ! ) λύσεις

: Ισομήκεις ζητωκραυγές!.png (14.07 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές

Νόμος ημιτόνων στα ASC, BPC:

$\displaystyle{\frac{y}{b} = \frac{{\sin {{45}^0}}}{{\sin {{75}^0}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{y}{b} = \frac{{\sin {{45}^0}}}{{\cos {{15}^0}}}},$ $\displaystyle{\frac{x}{{2b}} = \frac{{\sin {{15}^0}}}{{\sin {{135}^0}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{x}{b} = \frac{{2\sin {{15}^0}}}{{\sin {{45}^0}}}}$

Αλλά, $\displaystyle{\sin {30^0} = \frac{1}{2} = {\sin ^2}{45^0} \Leftrightarrow 2\sin {15^0}\cos {15^0} = {\sin ^2}{45^0} \Leftrightarrow \frac{{\sin {{45}^0}}}{{\cos {{15}^0}}} = \frac{{2\sin {{15}^0}}}{{\sin {{45}^0}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=y}$

#5

Καλησπέρα σε όλους. Και μια ΑναλυτικοΓεωμετρική προσέγγιση.

: 12-07-2017 Γεωμετρία.jpg (18 KiB) Προβλήθηκε 374 φορές

Έστω

οι κορυφές του ισοσκελούς και ορθογωνίου ABC

.

Αφού

ισόπλευρο, η προέκταση της

τέμνει το

στο $\displeystyle P\left( {\sqrt 3 ,\;0} \right)$ , αφού η γωνία $\displeystyle \widehat {APC}$ είναι $\displeystyle 30^\circ$ , άρα $\displeystyle AP = AC \cdot \sigma \varphi 30^\circ = \sqrt 3$ .

Οπότε $\displeystyle \left( {BP} \right) = \sqrt 3 - 1$ (1).

Επίσης, οι ευθείες $\displeystyle AD:y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x,\;\;\;BC:\;y = - x + 1$ τέμνονται στο $\displeystyle S\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + 3}},\;\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 3}}} \right)$ .

Οπότε $\displeystyle AS = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{{\sqrt 3 + 3}}} \right)}^2} + \;{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 3}}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{3 + \sqrt 3 }} = \sqrt {3 - 1}$ (2).

Από (1), (2) προκύπτει ότι (BP)=(AS)

.

Γιώργος Μήτσιος · #6

Καλό βράδυ σε όλους !

: Ισομήκεις...PNG (11.18 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Φανερό ότι AB=AC=AD=CD=DP

. Θεωρούμε το τεταρτοκύκλιο $\left ( A,AB \right )$ οπότε $C\widehat{B}D=30^{0}$ .

Έστω DH=DS

(βλ. σχήμα ) άρα και $D\widehat{H}S=30^{0}$ συνεπώς το BHDS

είναι εγγράψιμο

τότε $B\widehat{H}P=D\widehat{S}B=75^{0}$ ενώ $B\widehat{P}H=30^{0}$ . Τελικά BP=PH=AS

.

Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε:Ισομήκεις ζητωκραυγές.pngΤο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , ενώ το ισόπλευρο .

Οι τέμνονται στο σημείο , οι προεκτάσεις των στο .

Δείξτε ότι . Δείτε αργότερα κι άλλες ( πολλές ελπίζω ! ) λύσεις

Κατασκευάζουμε το παραλ/μμο SAQB

οπότε

Επειδή $\angle DAP=30^{0}$ και $DA=AB\Rightarrow \angle ADB=75^{0}=\angle DSB\Rightarrow DB=SB=AQ\Rightarrow DBQA$ ισοσκελές τραπέζιο

Άρα $\angle QDB=\angle BAQ=\angle CBA=\angle BDP=45^{0}$ και DQ=AB=AD=DP

Έτσι

μεσοκάθετος της $PQ\Rightarrow BP=BQ=AS$

: gh.png (135.11 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Re: Ισομήκεις ζητωκραυγές !

Μέλη σε σύνδεση