Κοινά σημεία
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Κοινά σημεία
, έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .
Αν , βρείτε προσεγγιστικά ( ή με ακρίβεια ! ) τις τετμημένες
των δύο σημείων . Δώστε μια εξήγηση του "φαινομένου "
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Κοινά σημεία
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το πρώτο υποερώτημα.KARKAR έγραψε:Δύο κοινά σημεία.pngΔείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και
, έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .
Αν , βρείτε προσεγγιστικά ( ή με ακρίβεια ! ) τις τετμημένες
των δύο σημείων . Δώστε μια εξήγηση του "φαινομένου "
Θεωρώ την συνάρτηση .
Κατ΄αρχάς παρατηρώ ότι Άρα κοινό σημείο των είναι το
Επίσης είναι
και .
Τώρα θα αποδείξω, λίγο ... μπακάλικα, ότι το τελευταίο είναι αρνητικό.
Είναι .
Ακόμη ισχύει .
Άρα .
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο .
Αρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της στο .
Επομένως κοινό σημείο των είναι και το
Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι έχουν τρία σημεία τομής με τετμημένες , με .
H είναι παραγωγίσιμη με καθώς και η είναι παραγωγίσιμη με .
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα , άρα και 1-1.
Εφαρμόζουμε 2 φορές το Θ. Rolle στην στα ,
και προκύπτουν 2 ρίζες της . ΑΤΟΠΟ αφού η είναι 1-1.
Τελικά οι έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15751
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κοινά σημεία
Μιά χαρά μου φαίνεται, αλλά να ένας γρήγορος τρόπος να δούμε ότι η έχει κάπου αρνητική τιμή: Αφού ο λογάριθμος στο τείνει στο καθώς ενώ όλοι οι άλλοι όροι έχουν (πεπερασμένο) όριο, σημαίνει ότι κοντά και δεξιά του είναι . Και λοιπά.Σταμ. Γλάρος έγραψε: Θεωρώ την συνάρτηση .
...
Τώρα θα αποδείξω, λίγο ... μπακάλικα, ότι το τελευταίο είναι αρνητικό.
...
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο .
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Κοινά σημεία
Καλησπέρα.
Κατά αρχάς να ευχαριστήσω τον κ. Λάμπρου διότι με έναν πολύ απλό τρόπο και συγχρόνως άψογο μαθηματικά,
έδειξε ότι κάπου υπάρχει αρνητική τιμή της .
Ούτε που πέρασε από το μυαλό αν και το συστήνουμε στους μαθητές...
Επανέρχομαι μετά από καιρό στο δεύτερο υποερώτημα του ενδιαφέροντος θέματος.
Η συνάρτησή μας για , παίρνει την μορφή .
Πρώτα απ΄ όλα με το Geogebra προσπάθησα να κάνω την γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Σε πρώτη φάση το αποτέλεμα ήταν το παρακάτω: Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα η έχει, εμφανώς, δύο σημεία τομής με τον .
Όμως παρατηρείται το εξής φαινόμενο. Το Geogebra προσδιορίζει μόνο το ένα σημείο τομής, το .
Όσες φορές και εάν προσπάθησα δεν μπόρεσα να προσδιορίσω το άλλο σημείο.
Το Geogebra ... πεισματικά αγνοούσε το άλλο. Ή πατούσε ξανά και ξανά πάνω στο
ή σπανιότερα έβγαζε αδύνατο.
Αγνόησα λοιπόν το Geogebra και άρχισα να ασχολούμαι με το Θεώρημα Bolzano.
Με το κομπουτεράκι βρήκα και .
Έτσι, λοιπόν, βρήκα ότι το άλλο σημείο τομής έχει τετμημένη .
Όμως παρέμενε η απορία. Τι έπαθε το Geogebra ;
Έτσι, λοιπόν, έδωσα την συνάρτηση στον γιο μου Βασίλη, ο οποίος είναι τελοιόφοιτος του ΕΜΠ στο τμήμα Μηχανολόγων.
Αυτός ισχυρίζεται ότι μπορεί να βρει την λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης .... εύκολα!
Φανταστείτε την έκπληξή του! Αν και η γραφική παράσταση της συνάρτησησης δείχνει καθαρά 2 σημεία τομής με τον ,
έβρισκε μόνο την λύση .
Αρχίσαμε, λοιπόν, να ψάχνουμε μαζί. Χρησιμοποίησε το βιβλίο: " Αριθμητική Ανάλυση για Μηχανικούς" των Κ.Χ.Γιανάκογλου,
Ι. Αναγνωστόπουλου και Γ. Μπεργελέ , Εκδόσεις ΕΜΠ του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών.
Αυτός υπολόγιζε την ρίζα με την επαναληπτική μέδοδο Newton -Raphson. Στην σελίδα 2.14 διαβάζουμε:
Η δημοφιλέστερη ανοιχτή μέδοδος (για τον υπολογισμό ρίζας μη γραμμικής συνάρτησης) είναι η Newton-Raphson (N-R) ,
το βασικότερο πλεονέκτημα της οποίας είναι ότι επιτυγχάνει τετραγωνική σύγκλιση κοντά στη ρίζα.
Αμέσως ξύπνησαν ... οι αναμνήσεις. Αριθμητική ανάλυση, Μέθοδος Διχοτόμησης , Μέθοδος Ν-R, κλπ...
Η μέθοδος N-R, δημιουργεί έναν αναδρομικό τύπο ο οποίος προκύπτει από σειρά Taylor η οποία συγκλίνει στην ρίζα.
Στην ίδια σελίδα του παραπάνω βιβλίου έχουμε και την γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου:
Η εφαπτομένη (παράγωγος) της συνάρτησης σε ένα σημείο τέμνει τον άξονα
σε σημείο το οποίο προσεγγίζει περισσότερο τη ρίζα .
Εννοείται ότι πρέπει η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη.
Και στην παρακάτω σελίδα 2.17 νομίζω ότι βρίσκεται η ... λύση του μυστηρίου!
... η μέθοδος Ν-R είναι ευαίσθητη στην επιλογή της τιμής εκκίνησης και υπάρχει περίπτωση να μην συγκλίνει
εάν αυτή δεν βρίσκεται αρκετά "κοντά" στη ρίζα της εξίσωσης.
Αυτό είναι !
Ακόμα και αν θεωρήσουμε ως αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου με όριο σύκλισης
προέκυπτε λύση !
Εξ' άλλου το βιβλίο αναφέρει πάλι στην σελίδα 2.17 :
Σε δύσκολες περιπτώσεις μπορεί να συνδυάζεται με την μέθοδο της διχοτόμησης, ώστε να εντοπίζεται πρώτα η περιοχή της ρίζας .
Πράγματι! Έπρεπε από την αρχή να αξιοποιήσουμε το Θ. Bolzano!!!
Με αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου με όριο σύκλισης ,
μετα από 3 μόλις επαναλήψεις έχουμε σύγλιση στο .
Τα παραπάνω φαίνονται στο εξής σχήμα: Στο σχήμα παρατηρούμε τα εξής :
1ο Βήμα : Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
2ο Βήμα : H κάθετη στον στο σημείο τέμνει την στο .
Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
3ο Βήμα : H κάθετη στον στο σημείο τέμνει την στο .
Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
Βλέπουμε πώς συγκλίνει το στην ρίζα με αρχική τιμή .
Επίσης η "κόκκινη ευθεία " ευθεία είναι η εφαπτομένη της στο .
Παρατηρήστε ότι "ταυτίζονται" η εφαπτομένη και η γραφική παράσταση !
Αν μπορούσαμε να φτιάξουμε και ασύμπτωτη σίγουρα και αυτή θα ταυτιζόταν με τις παραπάνω ...
Αυτός, νομίζω, είναι και ο λόγος για τον οποίο το πρόγραμμα αδυνατεί να δώσει λύση.
Συγγνώμη εάν κούρασα...
Θα περιμένω σχόλια από τους πολύ σπουδαιότερους από εμένα στο .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Κατά αρχάς να ευχαριστήσω τον κ. Λάμπρου διότι με έναν πολύ απλό τρόπο και συγχρόνως άψογο μαθηματικά,
έδειξε ότι κάπου υπάρχει αρνητική τιμή της .
Ούτε που πέρασε από το μυαλό αν και το συστήνουμε στους μαθητές...
Επανέρχομαι μετά από καιρό στο δεύτερο υποερώτημα του ενδιαφέροντος θέματος.
Η συνάρτησή μας για , παίρνει την μορφή .
Πρώτα απ΄ όλα με το Geogebra προσπάθησα να κάνω την γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Σε πρώτη φάση το αποτέλεμα ήταν το παρακάτω: Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα η έχει, εμφανώς, δύο σημεία τομής με τον .
Όμως παρατηρείται το εξής φαινόμενο. Το Geogebra προσδιορίζει μόνο το ένα σημείο τομής, το .
Όσες φορές και εάν προσπάθησα δεν μπόρεσα να προσδιορίσω το άλλο σημείο.
Το Geogebra ... πεισματικά αγνοούσε το άλλο. Ή πατούσε ξανά και ξανά πάνω στο
ή σπανιότερα έβγαζε αδύνατο.
Αγνόησα λοιπόν το Geogebra και άρχισα να ασχολούμαι με το Θεώρημα Bolzano.
Με το κομπουτεράκι βρήκα και .
Έτσι, λοιπόν, βρήκα ότι το άλλο σημείο τομής έχει τετμημένη .
Όμως παρέμενε η απορία. Τι έπαθε το Geogebra ;
Έτσι, λοιπόν, έδωσα την συνάρτηση στον γιο μου Βασίλη, ο οποίος είναι τελοιόφοιτος του ΕΜΠ στο τμήμα Μηχανολόγων.
Αυτός ισχυρίζεται ότι μπορεί να βρει την λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης .... εύκολα!
Φανταστείτε την έκπληξή του! Αν και η γραφική παράσταση της συνάρτησησης δείχνει καθαρά 2 σημεία τομής με τον ,
έβρισκε μόνο την λύση .
Αρχίσαμε, λοιπόν, να ψάχνουμε μαζί. Χρησιμοποίησε το βιβλίο: " Αριθμητική Ανάλυση για Μηχανικούς" των Κ.Χ.Γιανάκογλου,
Ι. Αναγνωστόπουλου και Γ. Μπεργελέ , Εκδόσεις ΕΜΠ του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών.
Αυτός υπολόγιζε την ρίζα με την επαναληπτική μέδοδο Newton -Raphson. Στην σελίδα 2.14 διαβάζουμε:
Η δημοφιλέστερη ανοιχτή μέδοδος (για τον υπολογισμό ρίζας μη γραμμικής συνάρτησης) είναι η Newton-Raphson (N-R) ,
το βασικότερο πλεονέκτημα της οποίας είναι ότι επιτυγχάνει τετραγωνική σύγκλιση κοντά στη ρίζα.
Αμέσως ξύπνησαν ... οι αναμνήσεις. Αριθμητική ανάλυση, Μέθοδος Διχοτόμησης , Μέθοδος Ν-R, κλπ...
Η μέθοδος N-R, δημιουργεί έναν αναδρομικό τύπο ο οποίος προκύπτει από σειρά Taylor η οποία συγκλίνει στην ρίζα.
Στην ίδια σελίδα του παραπάνω βιβλίου έχουμε και την γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου:
Η εφαπτομένη (παράγωγος) της συνάρτησης σε ένα σημείο τέμνει τον άξονα
σε σημείο το οποίο προσεγγίζει περισσότερο τη ρίζα .
Εννοείται ότι πρέπει η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη.
Και στην παρακάτω σελίδα 2.17 νομίζω ότι βρίσκεται η ... λύση του μυστηρίου!
... η μέθοδος Ν-R είναι ευαίσθητη στην επιλογή της τιμής εκκίνησης και υπάρχει περίπτωση να μην συγκλίνει
εάν αυτή δεν βρίσκεται αρκετά "κοντά" στη ρίζα της εξίσωσης.
Αυτό είναι !
Ακόμα και αν θεωρήσουμε ως αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου με όριο σύκλισης
προέκυπτε λύση !
Εξ' άλλου το βιβλίο αναφέρει πάλι στην σελίδα 2.17 :
Σε δύσκολες περιπτώσεις μπορεί να συνδυάζεται με την μέθοδο της διχοτόμησης, ώστε να εντοπίζεται πρώτα η περιοχή της ρίζας .
Πράγματι! Έπρεπε από την αρχή να αξιοποιήσουμε το Θ. Bolzano!!!
Με αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου με όριο σύκλισης ,
μετα από 3 μόλις επαναλήψεις έχουμε σύγλιση στο .
Τα παραπάνω φαίνονται στο εξής σχήμα: Στο σχήμα παρατηρούμε τα εξής :
1ο Βήμα : Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
2ο Βήμα : H κάθετη στον στο σημείο τέμνει την στο .
Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
3ο Βήμα : H κάθετη στον στο σημείο τέμνει την στο .
Η εφαπτομένη της στο τέμνει τον άξονα στο σημείο .
Βλέπουμε πώς συγκλίνει το στην ρίζα με αρχική τιμή .
Επίσης η "κόκκινη ευθεία " ευθεία είναι η εφαπτομένη της στο .
Παρατηρήστε ότι "ταυτίζονται" η εφαπτομένη και η γραφική παράσταση !
Αν μπορούσαμε να φτιάξουμε και ασύμπτωτη σίγουρα και αυτή θα ταυτιζόταν με τις παραπάνω ...
Αυτός, νομίζω, είναι και ο λόγος για τον οποίο το πρόγραμμα αδυνατεί να δώσει λύση.
Συγγνώμη εάν κούρασα...
Θα περιμένω σχόλια από τους πολύ σπουδαιότερους από εμένα στο .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες