Κοινά σημεία

KARKAR · #1

: Δύο κοινά σημεία.png (16.49 KiB) Προβλήθηκε 2385 φορές

Δείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=e^x

και

$g(x)=ln(x-k)+e^{k+1} , k\geq 1$ , έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .

Αν k=2

, βρείτε προσεγγιστικά ( ή με ακρίβεια ! ) τις τετμημένες

των δύο σημείων . Δώστε μια εξήγηση του "φαινομένου "

Σταμ. Γλάρος · #2

KARKAR έγραψε:Δύο κοινά σημεία.pngΔείξτε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και

$g(x)=ln(x-k)+e^{k+1} , k\geq 1$ , έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .

Αν , βρείτε προσεγγιστικά ( ή με ακρίβεια ! ) τις τετμημένες

των δύο σημείων . Δώστε μια εξήγηση του "φαινομένου "

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το πρώτο υποερώτημα.
Θεωρώ την συνάρτηση h(x)= f(x)-g(x)

.
Κατ΄αρχάς παρατηρώ ότι h(k+1) = 0 .

Άρα κοινό σημείο των $C_{f}, C_{g}$ είναι το $A(k+1, e^{k+1}) .$

Επίσης είναι
$h(k+e^{-e^{k+1}})= e^{k+e^{-e^{k+1}}}+\ln(k+e^{-e^{k+1}}-k)+e^{k+1}= e^{k+e^{-e^{k+1}}} -e^{k+1}+e^{k+1}= e^{k+e^{-e^{k+1}}} >0$

και $h\left (k+\frac{1}{2} \right )= e^{k+\frac{1}{2}}-\ln\frac{1}{2}-e^{k}e= \sqrt{e}\cdot e^k(1-\sqrt{e}) + \ln2$ .
Τώρα θα αποδείξω, λίγο ... μπακάλικα, ότι το τελευταίο είναι αρνητικό.
Είναι $\sqrt{e}\cdot e^k(1-\sqrt{e}) +\ln2<0$ $\Leftrightarrow$ $\sqrt{e}\cdot e^k(\sqrt{e}-1) > \ln2$ .
Ακόμη ισχύει e>2,56

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{e} >1,6$ .
Άρα $\sqrt{e}e^k(\sqrt{e}-1) > 1,6 \cdot 2,56 \cdot 0,6 = 2,4576 > 1 = ln e > \ln2$ .

Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την

στο $\left [ k+e^{-e^{k+1}} , k+\frac{1}{2} \right ]$ .
Αρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα $x_{o}$ της

στο $\left ( k+e^{-e^{k+1}} , k+\frac{1}{2} \right )$ .
Επομένως κοινό σημείο των $C_{f}, C_{g}$ είναι και το $B( x_{o} , e^{x_{o}} ) .$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι οι $C_{f}, C_{g}$ έχουν τρία σημεία τομής με τετμημένες $x_{1} , x_{2} , x_{3}$ , με $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .

H

είναι παραγωγίσιμη με $h'(x)= e^x -\dfrac{1}{x-k}$ καθώς και η

είναι παραγωγίσιμη με $h''(x)= e^x +\dfrac{1}{(x-k)^2 } >0$ .
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα , άρα και 1-1.

Εφαρμόζουμε 2 φορές το Θ. Rolle στην

στα $[x_{1} , x_{2} ]$ , $[x_{2} , x_{3} ]$
και προκύπτουν 2 ρίζες της

. ΑΤΟΠΟ αφού η

είναι 1-1.

Τελικά οι $C_{f}, C_{g}$ έχουν δύο ακριβώς κοινά σημεία .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#3

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Θεωρώ την συνάρτηση .
...
Τώρα θα αποδείξω, λίγο ... μπακάλικα, ότι το τελευταίο είναι αρνητικό.
...
Συνεπώς ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano για την στο $\left [ k+e^{-e^{k+1}} , k+\frac{1}{2} \right ]$ .

Μιά χαρά μου φαίνεται, αλλά να ένας γρήγορος τρόπος να δούμε ότι η

έχει κάπου αρνητική τιμή: Αφού ο λογάριθμος στο $g(x) = \ln (x-k) + e^{k+1}$ τείνει στο $-\infty$ καθώς $x\to k+$ ενώ όλοι οι άλλοι όροι έχουν (πεπερασμένο) όριο, σημαίνει ότι κοντά και δεξιά του

είναι

. Και λοιπά.

Σταμ. Γλάρος · #4

Καλησπέρα.
Κατά αρχάς να ευχαριστήσω τον κ. Λάμπρου διότι με έναν πολύ απλό τρόπο και συγχρόνως άψογο μαθηματικά,
έδειξε ότι κάπου υπάρχει αρνητική τιμή της

.
Ούτε που πέρασε από το μυαλό αν και το συστήνουμε στους μαθητές...

Επανέρχομαι μετά από καιρό στο δεύτερο υποερώτημα του ενδιαφέροντος θέματος.
Η συνάρτησή μας για k=2

, παίρνει την μορφή h(x) = e^x - ln(x-2) -e^3

.
Πρώτα απ΄ όλα με το Geogebra προσπάθησα να κάνω την γραφική παράσταση της συνάρτησης .
Σε πρώτη φάση το αποτέλεμα ήταν το παρακάτω:

: Κοινά σημεία 1.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 2265 φορές

Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα η

έχει, εμφανώς, δύο σημεία τομής με τον xx'

.
Όμως παρατηρείται το εξής φαινόμενο. Το Geogebra προσδιορίζει μόνο το ένα σημείο τομής, το (3,0)

.
Όσες φορές και εάν προσπάθησα δεν μπόρεσα να προσδιορίσω το άλλο σημείο.
Το Geogebra ... πεισματικά αγνοούσε το άλλο. Ή πατούσε ξανά και ξανά πάνω στο (3,0)

ή σπανιότερα έβγαζε αδύνατο.
Αγνόησα λοιπόν το Geogebra και άρχισα να ασχολούμαι με το Θεώρημα Bolzano.
Με το κομπουτεράκι βρήκα $h(2,000003)\simeq 0,017>0$ και $h(2,000004)\approx -0,262< 0$ .
Έτσι, λοιπόν, βρήκα ότι το άλλο σημείο τομής έχει τετμημένη $x_o \in (2.000003 , 2.000004)$ .

Όμως παρέμενε η απορία. Τι έπαθε το Geogebra ;
Έτσι, λοιπόν, έδωσα την συνάρτηση στον γιο μου Βασίλη, ο οποίος είναι τελοιόφοιτος του ΕΜΠ στο τμήμα Μηχανολόγων.
Αυτός ισχυρίζεται ότι μπορεί να βρει την λύση μιας μη γραμμικής εξίσωσης .... εύκολα!
Φανταστείτε την έκπληξή του! Αν και η γραφική παράσταση της συνάρτησησης δείχνει καθαρά 2 σημεία τομής με τον xx'

,
έβρισκε μόνο την λύση x=3

.

Αρχίσαμε, λοιπόν, να ψάχνουμε μαζί. Χρησιμοποίησε το βιβλίο: " Αριθμητική Ανάλυση για Μηχανικούς" των Κ.Χ.Γιανάκογλου,
Ι. Αναγνωστόπουλου και Γ. Μπεργελέ , Εκδόσεις ΕΜΠ του τμήματος Μηχανολόγων Μηχανικών.
Αυτός υπολόγιζε την ρίζα με την επαναληπτική μέδοδο Newton -Raphson. Στην σελίδα 2.14 διαβάζουμε:
Η δημοφιλέστερη ανοιχτή μέδοδος (για τον υπολογισμό ρίζας μη γραμμικής συνάρτησης) είναι η Newton-Raphson (N-R) ,
το βασικότερο πλεονέκτημα της οποίας είναι ότι επιτυγχάνει τετραγωνική σύγκλιση κοντά στη ρίζα.
Αμέσως ξύπνησαν ... οι αναμνήσεις. Αριθμητική ανάλυση, Μέθοδος Διχοτόμησης , Μέθοδος Ν-R, κλπ...
Η μέθοδος N-R, δημιουργεί έναν αναδρομικό τύπο ο οποίος προκύπτει από σειρά Taylor η οποία συγκλίνει στην ρίζα.
Στην ίδια σελίδα του παραπάνω βιβλίου έχουμε και την γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου:
Η εφαπτομένη (παράγωγος) της συνάρτησης f(x)

σε ένα σημείο x_i

τέμνει τον άξονα y=0

σε σημείο $x_{i+1}$ το οποίο προσεγγίζει περισσότερο τη ρίζα .
Εννοείται ότι πρέπει η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη.
Και στην παρακάτω σελίδα 2.17 νομίζω ότι βρίσκεται η ... λύση του μυστηρίου!
... η μέθοδος Ν-R είναι ευαίσθητη στην επιλογή της τιμής εκκίνησης και υπάρχει περίπτωση να μην συγκλίνει
εάν αυτή δεν βρίσκεται αρκετά "κοντά" στη ρίζα της εξίσωσης.
Αυτό είναι !
Ακόμα και αν θεωρήσουμε ως αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου x_1 = 2,0001

με όριο σύκλισης $10^{-15}$
προέκυπτε λύση x=3

!
Εξ' άλλου το βιβλίο αναφέρει πάλι στην σελίδα 2.17 :
Σε δύσκολες περιπτώσεις μπορεί να συνδυάζεται με την μέθοδο της διχοτόμησης, ώστε να εντοπίζεται πρώτα η περιοχή της ρίζας .
Πράγματι! Έπρεπε από την αρχή να αξιοποιήσουμε το Θ. Bolzano!!!
Με αρχική τιμή εκκίνησης της μεθόδου x_1 = 2,000003

με όριο σύκλισης $10^{-15}$ ,
μετα από 3 μόλις επαναλήψεις έχουμε σύγλιση στο x_o = 2,000003061951197

.
Τα παραπάνω φαίνονται στο εξής σχήμα:

: Κοινά Σημεία 2 .png (164.41 KiB) Προβλήθηκε 2265 φορές

Στο σχήμα παρατηρούμε τα εξής :
1ο Βήμα : Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο C(2.4, f(2.4))

τέμνει τον άξονα xx'

στο σημείο (x_1 ,0 )

.
2ο Βήμα : H κάθετη στον xx'

στο σημείο (x_1 ,0 )

τέμνει την $C_{f}$ στο D( x_1,f(x_1) )

.
Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο

τέμνει τον άξονα xx'

στο σημείο (x_2 ,0 )

.
3ο Βήμα : H κάθετη στον xx'

στο σημείο (x_2 ,0 )

τέμνει την $C_{f}$ στο E( x_2,f(x_2) )

.
Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο

τέμνει τον άξονα xx'

στο σημείο (x_3 ,0 )

.

Βλέπουμε πώς συγκλίνει το x_3

στην ρίζα

με αρχική τιμή x_1 = 2,4

.

Επίσης η "κόκκινη ευθεία " ευθεία είναι η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο B(2.00001, f(2.00001))

.

Παρατηρήστε ότι "ταυτίζονται" η εφαπτομένη και η γραφική παράσταση !
Αν μπορούσαμε να φτιάξουμε και ασύμπτωτη σίγουρα και αυτή θα ταυτιζόταν με τις παραπάνω ...
Αυτός, νομίζω, είναι και ο λόγος για τον οποίο το πρόγραμμα αδυνατεί να δώσει λύση.
Συγγνώμη εάν κούρασα...
Θα περιμένω σχόλια από τους πολύ σπουδαιότερους από εμένα στο

.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Κοινά σημεία

Κοινά σημεία

Re: Κοινά σημεία

Re: Κοινά σημεία

Re: Κοινά σημεία

Μέλη σε σύνδεση