Διαδοχικά φράγματα
Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος
Διαδοχικά φράγματα
Δείξτε , αυστηρά με τη σειρά της εκφώνησης , ότι : α) ,
β) , ....γ) , ...δ)
β) , ....γ) , ...δ)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαδοχικά φράγματα
α), β), γ) Η δεύτερη και η τρίτη είναι αφύσικες αφού το και το δεν μπαίνουν στους συλλογισμούς. Δεδομένου ότι ηKARKAR έγραψε:Δείξτε , αυστηρά με τη σειρά της εκφώνησης , ότι : α) ,
β) , ....γ) , ...δ)
είναι άμεση και, όπως θα δούμε, καλύτερη από τις τρεις πρώτες, δείχνω αυτήν.
Από την για έχουμε την εξής ανισότητα που πιστεύω ότι δεν είναι όσο γνωστή θα έπρεπε: Για έχουμε
Τώρα κάνουμε ένα μικρό τέχνασμα διότι η εκτίμηση που δίνει είναι μεγάλη για την άσκηση, αλλά μπορούμε εύκολα να την βελτιώσουμε:
Συνοψίζοντας έχουμε
η οποία είναι καλύτερη της γ) (απλό με εκτιμήσεις αφού π.χ. το δεξί μέλος είναι
δ) Για το δ) θα επανέλθω.
Re: Διαδοχικά φράγματα
Να λοιπόν που μάθαμε και μια καινούρια ανισότητα .Mihalis_Lambrou έγραψε:
Η σκέψη του προτείναντος είναι να αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι για , ισχύουν :
α) , ...β) , ....γ) . Αντιστρέφοντας και βρίσκοντας
τα υπολογιζόμενα ολοκληρώματα ( όλα θετικά ) , καταλήγουμε στα ζητούμενα .
Για το δ) ... δεν θα επανέλθω ( βρείτε το μόνοι σας - διασκεδαστικά μαθηματικά κάνουμε )
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Διαδοχικά φράγματα
Άκομψος τρόπος: Δεδομένου ότι η πραγματική τιμή του ολοκληρώματος, σύμφωνα με λογισμικό, είναι , σημαίνει ότι η ανισότητα είναι πολύ σφικτή. Άρα οι εκτιμήσεις πρέπει να είναι "με ελάχιστο περίσσευμα".KARKAR έγραψε:δ)
Με αλλαγή μεταβλητής το δοθέν ισούται με
Τώρα με κομπιουτεράκι ως βοηθό κάνουμε εκτιμήσεις των παραστάσων κατ' έλλειψη μέχρι το δεύτερο δεκαδικό (που βέβαια κατόπιν μπορούμε να τις επαληθεύσουμε με το χέρι κάνοντας χρήση των ), βρίσκουμε ότι το ολοκήρωμα είναι όντως (το ... μισοέκανα).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 9 επισκέπτες