Διαδοχικά φράγματα

KARKAR · #1

Δείξτε , αυστηρά με τη σειρά της εκφώνησης , ότι : α) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\frac{e}{3}$ ,

β) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\frac{2\pi}{5}$ , ....γ) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\phi$ , ...δ) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>2$

#2

KARKAR έγραψε:Δείξτε , αυστηρά με τη σειρά της εκφώνησης , ότι : α) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\frac{e}{3}$ ,

β) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\frac{2\pi}{5}$ , ....γ) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>\phi$ , ...δ) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>2$

α), β), γ) Η δεύτερη και η τρίτη είναι αφύσικες αφού το $\pi$ και το $\phi$ δεν μπαίνουν στους συλλογισμούς. Δεδομένου ότι η

$\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{\ln x}dx> \int_{3}^{6}\frac{1}{\ln 6}dx= \frac{3}{\ln 6}$

είναι άμεση και, όπως θα δούμε, καλύτερη από τις τρεις πρώτες, δείχνω αυτήν.

Από την $\ln (1+a) \le a$ για $a \ge 0$ έχουμε την εξής ανισότητα που πιστεύω ότι δεν είναι όσο γνωστή θα έπρεπε: Για $b \ge 1$ έχουμε

$\displaystyle{ \ln b = \ln (e \cdot \frac {b}{e}) = 1 + \ln (\frac {b}{e})= 1 + \ln (1+\frac {b-e}{e}) \le 1 + \frac {b-e}{e}= \frac {b}{e} }$

$\boxed {\displaystyle{ \ln b \le \frac {b}{e}} , \, b\ge 1 }$

Τώρα κάνουμε ένα μικρό τέχνασμα διότι η εκτίμηση $\displaystyle{ \ln 6 < \frac {6}{e} }$ που δίνει είναι μεγάλη για την άσκηση, αλλά μπορούμε εύκολα να την βελτιώσουμε:

$\displaystyle{ \ln 6 = \ln 2 + \ln 3 < \frac {2}{e} + \frac {3}{e}= \frac {5}{e}}$

Συνοψίζοντας έχουμε $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{ \ln x}dx> \frac{3}{\ln 6} > \frac{3e}{5}$

η οποία είναι καλύτερη της γ) (απλό με εκτιμήσεις αφού π.χ. το δεξί μέλος είναι $> 3\cdot 2,7 / 5=1,62>\phi$

δ) Για το δ) θα επανέλθω.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
$\boxed {\displaystyle{ \ln b \le \frac {b}{e}} , \, b\ge 1 }$

Να λοιπόν που μάθαμε και μια καινούρια ανισότητα

.

Η σκέψη του προτείναντος είναι να αξιοποιήσουμε το γεγονός ότι για x>1

, ισχύουν :

α) lnx<x-1

, ...β) $lnx<\sqrt{x}$ , ....γ) $lnx<\sqrt{x-1}$ . Αντιστρέφοντας και βρίσκοντας

τα υπολογιζόμενα ολοκληρώματα ( όλα θετικά ) , καταλήγουμε στα ζητούμενα .

Για το δ) ... δεν θα επανέλθω ( βρείτε το μόνοι σας - διασκεδαστικά μαθηματικά κάνουμε )

#4

KARKAR έγραψε:δ) $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx>2$

Άκομψος τρόπος: Δεδομένου ότι η πραγματική τιμή του ολοκληρώματος, σύμφωνα με λογισμικό, είναι $\displaystyle \int_{3}^{6}\frac{1}{lnx}dx \approx 2,0586$ , σημαίνει ότι η ανισότητα είναι πολύ σφικτή. Άρα οι εκτιμήσεις πρέπει να είναι "με ελάχιστο περίσσευμα".

Με αλλαγή μεταβλητής $\ln x =y$ το δοθέν ισούται με

$\displaystyle \int_{\ln 3}^{\ln 6}\frac{e^y}{y}dy \ge \int_{\ln 3}^{\ln 6}\frac{1+y+y^2/2 +y^3/6}{y}dy = \left [ \ln y + y+ y^2/6 + y^3/24 \right ]_{\ln 3} ^{\ln 6}$

Τώρα με κομπιουτεράκι ως βοηθό κάνουμε εκτιμήσεις των παραστάσων κατ' έλλειψη μέχρι το δεύτερο δεκαδικό (που βέβαια κατόπιν μπορούμε να τις επαληθεύσουμε με το χέρι κάνοντας χρήση των 2,718 < e < 2,719

), βρίσκουμε ότι το ολοκήρωμα είναι όντως

(το ... μισοέκανα).

Διαδοχικά φράγματα

Διαδοχικά φράγματα

Re: Διαδοχικά φράγματα

Re: Διαδοχικά φράγματα

Re: Διαδοχικά φράγματα

Μέλη σε σύνδεση