Τα δύο τελευταία ψηφία

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Doloros » Πέμ Αύγ 03, 2017 2:34 pm

Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 03, 2017 3:15 pm

Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}

Εργαζόμαστε \mod 100 . Αφού \phi (100) = 40, από το θεώρημα Euler είναι (πάντα \mod 100)

{2017^{2017}} \equiv 17^{2017}  \equiv 17^{50\cdot 40 +17}\equiv 17^{17} \equiv 17^{3\cdot 5 +2}

\equiv 4913^{5 }\cdot 17^{2 } \equiv 13^{5 }\cdot 289 \equiv 13^{2 }\cdot 13^{2 }\cdot 13 \cdot 89\equiv 69\cdot 69\cdot 13 \cdot 89 \equiv 61 \cdot 13 \cdot 89\equiv 77

Σχόλιο: θα γλυτώναμε κόπο αν λέγαμε \displaystyle{17^{20} \equiv 1 \mod 100 \, (*)} αλλά αφήνω το παραπάνω μια και η απόδειξη της (*) είναι κρυφά ή φανερά στο ίδιο μήκος κύματος.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 235
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Σταμ. Γλάρος » Δευ Αύγ 07, 2017 3:01 pm

Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Παρατηρούμε ότι ο 2017^1 τελειώνει σε 7.
Ο 2017^2 τελειώνει σε 9.
Ο 2017^3 τελειώνει σε 3.
Ο 2017^4 τελειώνει σε 1.
και περιοδικά ανά 4 επαναλαμβάνονται τα τελευταία ψηφία των δυνάμεων του 2017 .
Συνεπώς έχουμε : 2017^{2017} = \left ( 2017^{4} \right )^{504} \cdot  2017 τελειώνει σε 1\cdot 7 =7 .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 07, 2017 5:39 pm

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
...
τελειώνει σε 1\cdot 7 =7 .

Σταμάτη, η άσκηση ζητά τα δύο τελευταία ψηφία, πράγμα που κάνει όλη την διαφορά.

Σε αυτή την περίπτωση, τα δύο τελευταία ψηφία πάλι έχουν περιοδικότητα αλλά είναι με περίοδο 20. Το λέει αυτό στις δύο τελευταίες γραμμές της λύσης μου. Όμως επειδή η διαφορά 17 μέχρι το 2017 είναι "μεγάλη", κάποιος κόπος στις πράξεις είναι αναμενόμενος.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 235
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Σταμ. Γλάρος » Δευ Αύγ 07, 2017 8:09 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σταμ. Γλάρος έγραψε:
Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
...
τελειώνει σε 1\cdot 7 =7 .

Σταμάτη, η άσκηση ζητά τα δύο τελευταία ψηφία, πράγμα που κάνει όλη την διαφορά.

Σε αυτή την περίπτωση, τα δύο τελευταία ψηφία πάλι έχουν περιοδικότητα αλλά είναι με περίοδο 20. Το λέει αυτό στις δύο τελευταίες γραμμές της λύσης μου. Όμως επειδή η διαφορά 17 μέχρι το 2017 είναι "μεγάλη", κάποιος κόπος στις πράξεις είναι αναμενόμενος.

Κύριε Λάμπρου καλησπέρα.
Έχετε απόλυτο δίκιο!
Δεν το πρόσεξα καθόλου... :oops:
Νομίζω ότι είναι πολλές οι πράξεις για να βρεθεί η περιοδικότητα στην περίπτωση αυτή.
Ευχαριστώ πολύ για την επισήμανση .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Demetres » Παρ Αύγ 11, 2017 11:56 pm

Δίνω και μια διαφορετική απόδειξη. Αποφεύγει το θεώρημα του Euler αλλά και τις πολλές πράξεις.

Έχουμε

\displaystyle{ 2017^{2017} \equiv 17^{2017} = (7+10)^{2017} = 7^{2017} + 7^{2016} \cdot 2017 \cdot 10 \bmod 100}

όπου χρησιμοποιήσαμε το διωνυμικό θεώρημα. Όμως 7^4 \equiv 1 \bmod 10, άρα 7^{2016} \cdot 2017 \cdot 10 \equiv 70 \bmod 100. Επίσης,

\displaystyle{7^{2017} = 7 \cdot 49^{2016} = 7 \cdot (50-1)^{2016} \equiv 7 \cdot [(-1)^{2016} + 2016 \cdot (-1)^{2015} \cdot 50] \equiv 7 \bmod 100. }

Άρα εν τέλει είναι 2017^{2017} \equiv 77 \bmod 100.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 12:49 am

Demetres έγραψε:Δίνω και μια διαφορετική απόδειξη. Αποφεύγει το θεώρημα του Euler αλλά και τις πολλές πράξεις.

Έχουμε

\displaystyle{ 2017^{2017} \equiv 17^{2017} = (7+10)^{2017} = 7^{2017} + 7^{2016} \cdot 2017 \cdot 10 \bmod 100}

όπου χρησιμοποιήσαμε το διωνυμικό θεώρημα. Όμως 7^4 \equiv 1 \bmod 10, άρα 7^{2016} \cdot 2017 \cdot 10 \equiv 70 \bmod 100. Επίσης,

\displaystyle{7^{2017} = 7 \cdot 49^{2016} = 7 \cdot (50-1)^{2016} \equiv 7 \cdot [(-1)^{2016} + 2016 \cdot (-1)^{2015} \cdot 50] \equiv 7 \bmod 100. }

Άρα εν τέλει είναι 2017^{2017} \equiv 77 \bmod 100.



Κ.Demetres Μου άρεσε !


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 12, 2017 9:56 am

Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}


Μην το κοιτάξτε. Δύο ποστ παρακάτω ξαναγράφω ουσιαστικά την ίδια λύση αλλά τώρα λίγο πληρέστερη. Συμπληρώνω ένα μικρό κενό που είχα αφήσει άγραφο εδώ.
Λίγο αλλιώς: Εργαζόμενοι \mod 100 έχουμε από το ανάπτυγμα του δυωνύμου

{2017^{2017}= (2020-3)^{2017}}\equiv 2017\cdot 2020 \cdot (-3)- 3^{2017} \equiv}

\equiv 17\cdot 20 \cdot (-3)- 3(10-1)^{1008} \equiv -2- 3(1008 \cdot 10-1) \equiv -2- 24+3\equiv 77
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Αύγ 12, 2017 4:10 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5048
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Doloros » Σάβ Αύγ 12, 2017 11:54 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Doloros έγραψε:Να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού {2017^{2017}}

Λίγο αλλιώς: Εργαζόμενοι \mod 100 έχουμε από το ανάπτυγμα του δυωνύμου

{2017^{2017}= (2020-3)^{2017}}\equiv 2017\cdot 2020 \cdot (-3)- 3^{2017} \equiv}

\equiv 17\cdot 20 \cdot (-3)- 3(10-1)^{1008} \equiv -2- 3(1008 \cdot 10-1) \equiv -2- 24+3\equiv 77


Από κορυφαίους επιστήμονες, πανέμορφες λύσεις !!. Ευχαριστούμε κ. Λάμπρου και για τη δική σας κομψή και λιτή λύση !


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9403
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τα δύο τελευταία ψηφία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 12, 2017 4:26 pm

Ξαναγράφω ουσιαστικά την ίδια λύση που έδωσα παραπάνω αλλά τώρα λίγο πληρέστερη, συμπληρώνοντας ένα μικρό κενό που είχα αφήσει άγραφο εκεί.

Θα μας χρειαστεί \mod 100 η τιμή του 3^{2016}.

Έχουμε από το ανάπτυγμα του δυωνύμου, πάντα \mod 100, ότι

3^{2016} = (10-1)^{1008} \equiv 1008 \cdot 10 \cdot (-1)^{1007}+(-1)^{ 1008} \equiv -80 +1 \equiv -79 \equiv 21

Άρα, με χρήση αυτού,

{2017^{2017}= (2020-3)^{2017}}\equiv 2017\cdot 2020 \cdot 3^{2016}- 3^{2017} \equiv}

\equiv 17\cdot 20 \cdot 21- 3\cdot 21 \equiv 40 -63\equiv -23 \equiv 77 \mod 100



Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες