Μέσο ημικυκλίου

KARKAR · #1

: Μέσο ημικυκλίου.png (6.69 KiB) Προβλήθηκε 357 φορές

Ρίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου

,

του ημικυκλίου διαμέτρου

. Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

: Μέσο ημικυκλίου.png (23.8 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

Επειδή

η

διχοτομεί τη γωνία των αξόνων. Με άμεση συνέπεια οι αποστάσεις , $MT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MS$ του

από τους άξονες να είναι ίσες .

Μα έτσι η ευθεία Simson

του

θα διέρχεται από το κέντρο

του ημικυκλίου

και αν $TA = u \Rightarrow SB = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left\{ \begin{gathered} OT = a - u \hfill \\ OS = b + u \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow OT + OS = a + b$ και αφού

$OT = OS \Rightarrow \boxed{M(\frac{{a + b}}{2},\frac{{a + b}}{2})}$

Αυτή ήταν η πρώτη σκέψη ( Τα έπαθλα : Τόπο στα νιάτα)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

Επειδή $\displaystyle \angle AOM = \angle ABM = {45^0}$ το $\displaystyle M$ ανήκει στην ευθεία $\displaystyle y = x$ οπότε $\displaystyle M(m,m)$

$\displaystyle \overrightarrow {BM} = (m,m - b)$ και $\displaystyle \overrightarrow {AM} = (m - a,m)$ οπότε

$\displaystyle \overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AM} = 0 \Rightarrow m\left( {2m - a - b} \right) = 0 \Rightarrow \boxed{m = \frac{{a + b}}{2}}$

Άρα $\displaystyle M\left( {\frac{{a + b}}{2},\frac{{a + b}}{2}} \right)$

: MH.png (12.08 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

: μέσο ημικυκλίου_new.png (21.4 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Η

διχοτόμος της γωνίας των αξόνων. Η κάθετη στην

στο

τέμνει τους Ox,Oy

στα ${A_1},{B_1}$ .

Προφανώς $O{A_1} = O{B_1} = a + b$ και αφού το

μέσο του ${A_1}{B_1}$ θα είναι $\boxed{M(\frac{{a + b}}{2},\frac{{a + b}}{2})}$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

To

είναι στην διχοτόμο του α' τεταρτημορίου (άμεσο) άρα έχει συντεταγμένες M(m,m)

. Αν

η τέταρτη κορυφή του τετραγώνου BMAN

τότε

διάμετρος. Επειδή τότε $ON \perp OM$ , η

είναι στην διχοτόμο του δ' τεταρτημορίου και άρα είναι N(n,-n)

. Γράφοντας τώρα τις συντεταγμένες του κοινού μέσου των δύο διαγωνίων του τετραγώνου, είναι

$\displaystyle{\left ( \frac {m+n}{2}, \frac {m-n}{2} \right ) = \left ( \frac {a}{2}, \frac {b}{2} \right ) }$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη τις δύο ισοτητες που προκύπτουν, έπεται $\displaystyle{m= \frac {a+b}{2} }$ . Και λοιπά.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

: Μέσο ημικυκλίου.png (16.15 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές

Το

είναι εγγράψιμο, $A\widehat OM=45^0,$ άρα οι συντεταγμένες του

είναι ίσες και έστω M(x,x).

$\displaystyle O{A^2} + O{B^2} = M{A^2} + M{B^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {x^2} + {(x - a)^2} + {x^2} + {(x - b)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 0} x = \frac{{a + b}}{2}$

#7

Άλλη μία.

: Μέσο ημικυκλίου.b.png (14.6 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο OAMB:

$\displaystyle at + bt = t\sqrt 2 \cdot x\sqrt 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{a+b}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 16, 2017 2:03 pm
Μέσο ημικυκλίου.pngΡίχνοντας μια ματιά στο σχήμα , βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου ,

του ημικυκλίου διαμέτρου . Το έπαθλο στον πιο "εμπνευσμένο"

Άλλη μια πιο γεωμετρική..

Με $\displaystyle A'$ συμμετρικό του $\displaystyle A$ ως προς $\displaystyle M$ $\displaystyle \Rightarrow A'B \bot AB$ και $\displaystyle A'B = AB$

Άρα $\displaystyle \Rightarrow \vartriangle A'DB = \vartriangle OAB \Rightarrow DA' = b$

$\displaystyle ME = \frac{{OA + A'D}}{2} = \frac{{a + b}}{2} = MN \Rightarrow M(\frac{{a + b}}{2},\frac{{a + b}}{2})$

: μ.η.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

#9

Καλησπέρα σε όλους.

: 16-10-2017 Γεωμετρία.jpg (37.79 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές

Έστω

το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων.

η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z_1

και

η εικόνα του z_2

, που προκύπτει από στροφή της διανυσματικής ακτίνας $\overrightarrow {KB}$ κατά $\displaystyle 90^\circ$ δεξιά.

Οπότε $\displaystyle {z_1} = - \frac{a}{2} + \frac{b}{2}i \Rightarrow {z_2} = \left( { - \frac{a}{2} + \frac{b}{2}i} \right)\left( { - i} \right) = \frac{b}{2} + \frac{a}{2}i$ άρα $\displaystyle M\left( {\frac{b}{2},\;\frac{a}{2}} \right)$ .

Με παράλληλη μεταφορά αξόνων κατά $\displaystyle \frac{a}{2}$ αριστερά και $\displaystyle \frac{b}{2}$ κάτω, ώστε το

να μετακινηθεί στη θέση $\displaystyle O\left( { - \frac{a}{2},\; - \frac{b}{2}} \right)$ , οι νέες συντεταγμένες του

είναι $\displaystyle M\left( {\frac{{b + a}}{2},\;\frac{{a + b}}{2}} \right)$ .

Μέσο ημικυκλίου

Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Re: Μέσο ημικυκλίου

Μέλη σε σύνδεση