Αναποδογύρισμα κέικ

[Demetres]

Έχουμε ένα στρογγυλό κέικ. Το πάνω μέρος του κέικ έχει γλάσο και διαφέρει από το κάτω μέρος του κέικ. Στο πρώτο βήμα κόβουμε ένα κομμάτι (κυκλικό τομέα) γωνίας μοιρών. Αφαιρούμε το κομμάτι, το αναποδογυρίζουμε, και το τοποθετούμε αναποδογυρισμένο στην αρχική του θέση. Επαναλαμβάνουμε με το αμέσως επόμενο κομμάτι, που εφάπτεται του πρώτου που κόψαμε. Κόβουμε, αφαιρούμε, αναποδογυρίζουμε, επανατοποθετούμε. Συνεχίζουμε να το κάνουμε αυτό κάθε φορά παίρνοντας το επόμενο ωρολογιακά π.χ. κομμάτι.

Αν να βρεθεί πόσες φορές πρέπει να κάνουμε την διαδικασία ώστε να ξαναπάρουμε το κέικ με όλο το γλάσο να βρίσκεται στην πάνω μεριά.

Υ.Γ. Το γλάσο δεν κολλάει στην κάτω μεριά.

[dement]

Το γλάσο μπορεί να μην κολλάει, αλλά το κέικ θα έχει γίνει μια μάζα ψίχουλα στο τέλος!

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μήπως 720 φορές;

[Demetres]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μήπως 720 φορές;

Όχι.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μήπως 720 φορές;

Όχι.

Είπαμε ότι θέλουμε στο τέλος το γλάσο να ξαναβρίσκεται στο πάνω μέρος, δηλαδή όπως ήταν στην αρχή!

Βέβαια το υστερόγραφο στο αρχικό μήνυμα και ο τίτλος του θέματος με κάνουν να υποψιάζομαι ότι...

[Demetres]

Είπαμε ότι θέλουμε στο τέλος το γλάσο να ξαναβρίσκεται στο πάνω μέρος, δηλαδή όπως ήταν στην αρχή!

Έτσι είπαμε. Αν ήταν αυτή η απάντηση, τότε δεν θα έβαζα την άσκηση. Πάντως η απάντηση δεν είναι ούτε 360.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Καθυστερημένα μεν, αλλά Χρόνια Πολλά σε όλους τους Δημήτρηδες στο Mathematica. Ιδιαίτερα στον κ. Δημήτρη Χριστοφίδη και στον κ. Δημήτρη Σκουτέρη.

Μήπως λόγω της γιορτής πρέπει να κόψουμε το κέικ;

[harrisp]

Να ευχηθώ και εγώ με την σειρά μου Χρόνια Πολλά σε όλους του εορτάζοντες και ιδιαιτερα στον κύριο Δημήτρη Ιωάννου, τον κύριο Δημήτη Χριστοφίδη και στον κύριο Δημήτρη Σκουτέρη.

Να κάνω και εγώ μια τελευταιά μαντεψιά, βασισμένη σε μια παρατήρηση πάνω στο πρόβλημα.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

1040

[Demetres]

Η απάντηση είναι 4! Εκπληκτικό ε; Δοκιμάστε το ξανά!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το μυστικό είναι στην λέξη αναποδογύρισμα. Αυτό είναι διαφορετικό από την ανάκλαση.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Η απάντηση είναι 4! Εκπληκτικό ε; Δοκιμάστε το ξανά!

Το μυστικό είναι στην λέξη αναποδογύρισμα. Αυτό είναι διαφορετικό από την ανάκλαση.

Πράγματι, εκπληκτικό! Το πιο εκπληκτικό είναι ότι για οποιοδήποτε μέγεθος κομματιού από έως μοίρες χρειάζονται προσπάθειες... (αν δεν κάνω λάθος)!

Στη δικιά μου λύση πράγματι δεν σκεφτόμουν ότι με το αναποδογύρισμα άλλαζαν τα αριστερά με τα δεξιά...

Η λογική με την οποία μου βγήκε το λανθασμένο αποτέλεσμα ήταν η εξής:

Αφού το γλασαρισμένο τμήμα του κέικ θα αναποδογύριζε με τη σειρά (εδώ ήταν το λάθος!), βρήκα το ΕΚΠ των και , που είναι το .
Τόσες μοίρες θα είχαμε διανύσει κόβοντας μέχρι να ξαναφτάσουμε στην αρχή. Άρα το γλάσο θα ήταν πάλι όλο στην ίδια πλευρά. Θα είχαμε διανύσει κύκλους κόβοντας, που επειδή είναι περιττός αριθμός, σημαίνει ότι το γλάσο θα ήταν όλο στην κάτω πλευρά, κάνοντας κοψιές. Άρα με ακόμα κοψιές θα ξαναγύριζε το γλάσο όλο στην πάνω πλευρά!

Όταν ήρθε η αρνητική απάντηση για το αποτέλεσμα, έφτιαξα ένα προγραμματάκι σε C που εξομοίωνε την όλη διαδικασία (με το ίδιο λανθασμένο σκεπτικό) και μου έβγαζε το ίδιο λανθασμένο αποτέλεσμα με εμένα!

Πλέον (θέλω να πιστεύω ότι) διόρθωσα το προγραμματάκι. Δίνει για όλα τα πιθανά μεγέθη κομματιών από έως μοίρες των αριθμό των βημάτων για να ξαναπάρουμε το κέικ όπως ήταν στην αρχή:

f-1 : 720
f-2 : 360
f-3 : 240
f-4 : 180
f-5 : 144
f-6 : 120
f-7 : 5304
f-8 : 90
f-9 : 80
f-10 : 72
f-11 : 2112
f-12 : 60
f-13 : 1512
f-14 : 1300
f-15 : 48
f-16 : 1012
f-17 : 924
f-18 : 40
f-19 : 684
f-20 : 36
f-21 : 612
f-22 : 544
f-23 : 480
f-24 : 30
f-25 : 420
f-26 : 364
f-27 : 364
f-28 : 312
f-29 : 312
f-30 : 24
f-31 : 264
f-32 : 264
f-33 : 220
f-34 : 220
f-35 : 220
f-36 : 20
f-37 : 180
f-38 : 180
f-39 : 180
f-40 : 18
f-41 : 144
f-42 : 144
f-43 : 144
f-44 : 144
f-45 : 16
f-46 : 112
f-47 : 112
f-48 : 112
f-49 : 112
f-50 : 112
f-51 : 112
f-52 : 84
f-53 : 84
f-54 : 84
f-55 : 84
f-56 : 84
f-57 : 84
f-58 : 84
f-59 : 84
f-60 : 12
f-61 : 60
f-62 : 60
f-63 : 60
f-64 : 60
f-65 : 60
f-66 : 60
f-67 : 60
f-68 : 60
f-69 : 60
f-70 : 60
f-71 : 60
f-72 : 10
f-73 : 40
f-74 : 40
f-75 : 40
f-76 : 40
f-77 : 40
f-78 : 40
f-79 : 40
f-80 : 40
f-81 : 40
f-82 : 40
f-83 : 40
f-84 : 40
f-85 : 40
f-86 : 40
f-87 : 40
f-88 : 40
f-89 : 40
f-90 : 8
f-91 : 24
f-92 : 24
f-93 : 24
f-94 : 24
f-95 : 24
f-96 : 24
f-97 : 24
f-98 : 24
f-99 : 24
f-100 : 24
f-101 : 24
f-102 : 24
f-103 : 24
f-104 : 24
f-105 : 24
f-106 : 24
f-107 : 24
f-108 : 24
f-109 : 24
f-110 : 24
f-111 : 24
f-112 : 24
f-113 : 24
f-114 : 24
f-115 : 24
f-116 : 24
f-117 : 24
f-118 : 24
f-119 : 24
f-120 : 6
f-121 : 12
f-122 : 12
f-123 : 12
f-124 : 12
f-125 : 12
f-126 : 12
f-127 : 12
f-128 : 12
f-129 : 12
f-130 : 12
f-131 : 12
f-132 : 12
f-133 : 12
f-134 : 12
f-135 : 12
f-136 : 12
f-137 : 12
f-138 : 12
f-139 : 12
f-140 : 12
f-141 : 12
f-142 : 12
f-143 : 12
f-144 : 12
f-145 : 12
f-146 : 12
f-147 : 12
f-148 : 12
f-149 : 12
f-150 : 12
f-151 : 12
f-152 : 12
f-153 : 12
f-154 : 12
f-155 : 12
f-156 : 12
f-157 : 12
f-158 : 12
f-159 : 12
f-160 : 12
f-161 : 12
f-162 : 12
f-163 : 12
f-164 : 12
f-165 : 12
f-166 : 12
f-167 : 12
f-168 : 12
f-169 : 12
f-170 : 12
f-171 : 12
f-172 : 12
f-173 : 12
f-174 : 12
f-175 : 12
f-176 : 12
f-177 : 12
f-178 : 12
f-179 : 12
f-180 : 4
f-181 : 4
f-182 : 4
f-183 : 4
f-184 : 4
f-185 : 4
f-186 : 4
f-187 : 4
f-188 : 4
f-189 : 4
f-190 : 4
f-191 : 4
f-192 : 4
f-193 : 4
f-194 : 4
f-195 : 4
f-196 : 4
f-197 : 4
f-198 : 4
f-199 : 4
f-200 : 4
f-201 : 4
f-202 : 4
f-203 : 4
f-204 : 4
f-205 : 4
f-206 : 4
f-207 : 4
f-208 : 4
f-209 : 4
f-210 : 4
f-211 : 4
f-212 : 4
f-213 : 4
f-214 : 4
f-215 : 4
f-216 : 4
f-217 : 4
f-218 : 4
f-219 : 4
f-220 : 4
f-221 : 4
f-222 : 4
f-223 : 4
f-224 : 4
f-225 : 4
f-226 : 4
f-227 : 4
f-228 : 4
f-229 : 4
f-230 : 4
f-231 : 4
f-232 : 4
f-233 : 4
f-234 : 4
f-235 : 4
f-236 : 4
f-237 : 4
f-238 : 4
f-239 : 4
f-240 : 4
f-241 : 4
f-242 : 4
f-243 : 4
f-244 : 4
f-245 : 4
f-246 : 4
f-247 : 4
f-248 : 4
f-249 : 4
f-250 : 4
f-251 : 4
f-252 : 4
f-253 : 4
f-254 : 4
f-255 : 4
f-256 : 4
f-257 : 4
f-258 : 4
f-259 : 4
f-260 : 4
f-261 : 4
f-262 : 4
f-263 : 4
f-264 : 4
f-265 : 4
f-266 : 4
f-267 : 4
f-268 : 4
f-269 : 4
f-270 : 4
f-271 : 4
f-272 : 4
f-273 : 4
f-274 : 4
f-275 : 4
f-276 : 4
f-277 : 4
f-278 : 4
f-279 : 4
f-280 : 4
f-281 : 4
f-282 : 4
f-283 : 4
f-284 : 4
f-285 : 4
f-286 : 4
f-287 : 4
f-288 : 4
f-289 : 4
f-290 : 4
f-291 : 4
f-292 : 4
f-293 : 4
f-294 : 4
f-295 : 4
f-296 : 4
f-297 : 4
f-298 : 4
f-299 : 4
f-300 : 4
f-301 : 4
f-302 : 4
f-303 : 4
f-304 : 4
f-305 : 4
f-306 : 4
f-307 : 4
f-308 : 4
f-309 : 4
f-310 : 4
f-311 : 4
f-312 : 4
f-313 : 4
f-314 : 4
f-315 : 4
f-316 : 4
f-317 : 4
f-318 : 4
f-319 : 4
f-320 : 4
f-321 : 4
f-322 : 4
f-323 : 4
f-324 : 4
f-325 : 4
f-326 : 4
f-327 : 4
f-328 : 4
f-329 : 4
f-330 : 4
f-331 : 4
f-332 : 4
f-333 : 4
f-334 : 4
f-335 : 4
f-336 : 4
f-337 : 4
f-338 : 4
f-339 : 4
f-340 : 4
f-341 : 4
f-342 : 4
f-343 : 4
f-344 : 4
f-345 : 4
f-346 : 4
f-347 : 4
f-348 : 4
f-349 : 4
f-350 : 4
f-351 : 4
f-352 : 4
f-353 : 4
f-354 : 4
f-355 : 4
f-356 : 4
f-357 : 4
f-358 : 4
f-359 : 4
f-360 : 2

Ο κώδικας για όποιον ενδιαφέρεται:
(έχω αφήσει σε σχόλιο και την αρχική εκδοχή)

Υ.Γ. Νομίζω παλιότερα ο κώδικας φαινόταν κανονικά με τις αλλαγές γραμμών. Ίσως φταίει η τελευταία αναβάθμιση!

Κώδικας: Επιλογή όλων

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int main()
{
    freopen("pita.out", "w", stdout);

    int i, t, c, f, ok;
    bool pita[360], pitatmp[360];

    for (i=0; i<360; i++)
        pita[i]=true;

    for (f=1; f<=360; f++) {
        c=0; t=0;
        for (;;){
/* old
          for (i=0; i<f; i++) {
               pita[(c+i)%360]=!pita[(c+i)%360];
          }
   old */
/* new */
            for (i=0; i<f; i++) {
                pitatmp[i]=pita[(c+i)%360];
            }
            for (i=0; i<f; i++) {
                pita[(c+i)%360]= !pitatmp[f-i-1];
            }
/* new */
            c=(c+f)%360;

            t++;
            ok=0;
            for (i=0; i<360; i++)
                ok=ok+ pita[i];

            if (ok==360) {
                cout << "f-" << f << " : " << t << "\n";
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}

[gbdalako]

Κάτι σημαντικό που δεν αναφέρθηκε και ίσως να ενδιαφέρει είναι ότι το μέτρο της γωνίας δεν είναι κατ ανάγκη ακέραιος (σε μοίρες).
Το πρόβλημα είναι από γνωστό διαγωνισμό και είναι αρκετά δύσκολο. Η παραπάνω σημαντική παρατήρηση, πιστεύω, είναι ενα μικρό κομμάτι μόνο της λύσης.
Ενδεικτικά, σε 6 χρόνια υπάρχουν μόνο 150 λύτες για το κέικ και ο πιο γρήγορος χρειάστηκε 9 ώρες - συνήθως τα λύνουν σε 10-15 λεπτά
Το ενδιαφέρον είναι ότι συχνά τα προβλήματα έχουν κάποια έξυπνη μαθηματική ιδέα ή κάτι ανάλογο. Χαρτί και μολύβι είναι σχεδόν πάντα απαραίτητα, αλλά δεν επαρκούν.