Η απάτη του μήνα

KARKAR · #1

: Η απάτη του μήνα.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

Το κόκκινο ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο AB= 6

και η μπλε καμπύλη είναι

ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου κύκλου (K)

, ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου

και διαμέτρου . Οι ( πάνω ) εφαπτόμενες του κύκλου από τα A,B

τέμνονται στο

.

α) Δείξτε ότι ο πρώτος ( μπλε) γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή : $y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x^2}{6}$

β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του

( πράσινος ) δεν είναι το βόρειο τμήμα

της έλλειψης : $\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{9} =1$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2017 2:07 pm
Η απάτη του μήνα.pngΤο κόκκινο ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο και η μπλε καμπύλη είναι

ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται ημικυκλίου

και διαμέτρου . Οι ( πάνω ) εφαπτόμενες του κύκλου από τα τέμνονται στο .

α) Δείξτε ότι ο πρώτος ( μπλε) γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή : $y=\dfrac{3}{2}-\dfrac{x^2}{6}$

Για το α)

: Η απάτη του μήνα.png (18.73 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Αν

τότε: $\displaystyle {x^2} + {y^2} = {(3 - y)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = - \frac{{{x^2}}}{6} + \frac{3}{2}}$

Για το β) ερώτημα, ταιριάζει απόλυτα ο τίτλος. Τουλάχιστον είναι εντελώς πειστικό!

KARKAR · #3

: Η απάτη του μήνα.png (20.53 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές

Για το β) αρκεί να δείξω ότι κάποιο από τα

, δεν ανήκει στην ημιέλλειψη .

Για τη θέση του κύκλου του σχήματος είναι $K(2,\dfrac{5}{6})$ , οπότε : $\tan\theta=\dfrac{1}{6}$

συνεπώς : $\tan2\theta=\dfrac{12}{35}$ , δηλαδή η ευθεία

έχει εξίσωση :

$y=\dfrac{12}{35}(x+3)$ . Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε την εξίσωση της

, που είναι :

$y=-\dfrac{60}{11}(x-3)$ . Η τομή των δύο δίνει το σημείο

, και παρατηρούμε ότι :

$\dfrac{(\dfrac{60}{31})^2}{16}+\dfrac{(\dfrac{82}{31})^2}{9}=\dfrac{8749}{8649}\neq 1$ , δηλαδή το

,

Τα σημεία

, καθώς και το (0,4)

εύκολα διαπιστώνουμε ότι ανήκουν στην ημιέλλειψη .

Η πολύ μικρή απόκλιση είναι αυτή που δημιουργεί την οπτική απάτη , αλλά έχουμε κι άλλα όπλα !

KARKAR · #4

: Η απάτη του μήνα.png (153.71 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Ο μπλε είναι ο πραγματικός γεωμετρικός τόπος και η πράσινη καμπύλη

είναι η ημιέλλειψη . Αν το πετυχαίνατε κι εσείς , δεν θα το κάνατε θέμα ;

Για το ποια είναι η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου , δεν θα καίγεστε

Η απάτη του μήνα

Η απάτη του μήνα

Re: Η απάτη του μήνα

Re: Η απάτη του μήνα

Re: Η απάτη του μήνα

Μέλη σε σύνδεση