Το μεγάλο κόλπο

KARKAR · #1

: Το μεγάλο κόλπο.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 590 φορές

Το σημείο

κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου

και ας ονομάσουμε

, το μέσο

της χορδής

. Επιλέγουμε σημείο

του τόξου , ώστε $\overset{\frown}{SP}=\overset{\frown}{SB}$ . Που πρέπει

να τοποθετήσουμε το

, ώστε να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα MB+MP

;

Σας ρωτώ για να μάθω , όχι για να ελέγξω τις γνώσεις σας

Ανδρέας Πούλος · #2

Για απλοποίηση των πράξεων θεωρούμε ότι το ημικύκλιο έχει ακτίνα 1.
Ονομάζουμε

το μέτρο της γωνίας PAB

. Αλλάζω και το γράμμα Θ σε G για το tex.
Ισχύει PB = PH = 2sinx

και

.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο GPB

έχουμε $GB = \sqrt{1+3sin^{2}x}$ .
Αποδεικνύουμε ότι μέτρο γωνίας $HPG = \frac{\pi }{2}-2x$ .
Με τη βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων στο τρίγωνο HGP βρίσκουμε ότι $HG = \sqrt{8sin^{4}x - 5sin^{2}x + 1}$ .

Άρα, το ζητούμενο άθροισμα είναι η ελάχιστη τιμή της αλγεβρικής παράστασης:

$\sqrt{1+3sin^{2}x}$ + $\sqrt{8sin^{4}x - 5sin^{2}x + 1}$ , με $0 < x < \frac{\pi }{2}$ .

Για $x = \frac{\pi }{6}$ , διαπιστώνω (προσοχή, δεν αποδεικνύω) ότι το άθροισμα πάίρνει τη μικρότερη τιμή από όσες έχω δοκιμάσει.
Άρα, το πρόβλημα μετατρέπεται στην απόδειξη της εικασίας αν πράγματι για $x = \frac{\pi }{6}$
έχουμε την ελάχιστη τιμή.
Αυτό μπόρεσα να κάνω και το δημοσιεύω. Πιθανώς, μέσω ανισοτικών σχέσεων να προκύψει η απάντηση.
Παραθέτω και το σχήμα που εργάστηκα με το Geogebra, το οποίο με βοήθησε να "δοκιμάσω' την εικασία μου.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 12, 2017 7:59 pm
Το μεγάλο κόλπο.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου και ας ονομάσουμε , το μέσο

της χορδής . Επιλέγουμε σημείο του τόξου , ώστε $\overset{\frown}{SP}=\overset{\frown}{SB}$ . Που πρέπει

να τοποθετήσουμε το , ώστε να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα ;

Σας ρωτώ για να μάθω , όχι για να ελέγξω τις γνώσεις σας

: Το μεγάλο κόλπο.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 455 φορές

Έστω

και

το μέσο του PB.

Είναι $\boxed{AS^2=4R^2-x^2}$ (1)

και από Π. Θ στο MSB

βρίσκω $\boxed{BM = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 4{R^2}} }}{2}}$ (2)

Εφαρμόζω θ. διαμέσων στο APS.

$\displaystyle P{M^2} = \frac{{2P{A^2} + 2{x^2} - A{S^2}}}{4}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{2(4{R^2} - P{B^2}) + 3{x^2} - 4{R^2}}}{4} \Leftrightarrow P{M^2} = \frac{{3{x^2} + 4{R^2} - P{B^2}}}{4}$

Tα ASB, BNS

είναι όμοια: $\displaystyle \frac{{SN}}{x} = \frac{x}{{2R}} \Leftrightarrow SN = \frac{{{x^2}}}{{2R}} \Leftrightarrow \frac{{P{B^2}}}{4} = {x^2} - \frac{{{x^4}}}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow P{B^2} = 4{R^2}{x^2} - {x^4}$

Άρα: $\displaystyle PM = \frac{{\sqrt {2{x^4} - 5{R^2}{x^2} + 4{R^4}} }}{{2R}}$ και από την (2),

$\boxed{MB + MP = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 4{R^2}} }}{2} + \frac{{\sqrt {2{x^4} - 5{R^2}{x^2} + 4{R^4}} }}{{2R}}}$

Εδώ επεμβαίνει το λογισμικό και δίνει για $\boxed{x\simeq 0.97844R}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{{(MB + MP)_{\min }} \simeq 1.82217R}$

KARKAR · #4

Ανδρέα , ευχαριστώ πολύ , διότι έβγαλες - μαεστρικά - το δύσκολο μέρος της λύσης .

Δυστυχώς , όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με χρήση λογισμικού , το ελάχιστο

επιτυγχάνεται για x=0,511198

, που αντιστοιχεί σε γωνία 29,2895^0

- ελάχιστα μικρότερη των 30^0

, στην οποία οδηγεί η παρατήρησή σου .

Με αυτή τη γωνία βρίσκουμε : BS=0,97845 R

( γεια σου Γιώργο ! )

Το μεγάλο κόλπο

Το μεγάλο κόλπο

Re: Το μεγάλο κόλπο

Re: Το μεγάλο κόλπο

Re: Το μεγάλο κόλπο

Μέλη σε σύνδεση