Το μεγάλο κόλπο

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το μεγάλο κόλπο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 12, 2017 7:59 pm

Το  μεγάλο  κόλπο.png
Το μεγάλο κόλπο.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές
Το σημείο S κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB και ας ονομάσουμε M , το μέσο

της χορδής AS . Επιλέγουμε σημείο P του τόξου , ώστε \overset{\frown}{SP}=\overset{\frown}{SB} . Που πρέπει

να τοποθετήσουμε το S , ώστε να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα MB+MP ;

Σας ρωτώ για να μάθω , όχι για να ελέγξω τις γνώσεις σας :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1308
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Το μεγάλο κόλπο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Δεκ 15, 2017 12:01 am

Για απλοποίηση των πράξεων θεωρούμε ότι το ημικύκλιο έχει ακτίνα 1.
Ονομάζουμε x το μέτρο της γωνίας PAB. Αλλάζω και το γράμμα Θ σε G για το tex.
Ισχύει PB = PH = 2sinx και  AG= GP = cosx.

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο GPB έχουμε GB = \sqrt{1+3sin^{2}x}.
Αποδεικνύουμε ότι μέτρο γωνίας HPG = \frac{\pi }{2}-2x.
Με τη βοήθεια του νόμου των συνημιτόνων στο τρίγωνο HGP βρίσκουμε ότι HG = \sqrt{8sin^{4}x - 5sin^{2}x + 1}.

Άρα, το ζητούμενο άθροισμα είναι η ελάχιστη τιμή της αλγεβρικής παράστασης:

 \sqrt{1+3sin^{2}x} +  \sqrt{8sin^{4}x - 5sin^{2}x + 1} , με 0 < x < \frac{\pi }{2}.

Για x = \frac{\pi }{6}, διαπιστώνω (προσοχή, δεν αποδεικνύω) ότι το άθροισμα πάίρνει τη μικρότερη τιμή από όσες έχω δοκιμάσει.
Άρα, το πρόβλημα μετατρέπεται στην απόδειξη της εικασίας αν πράγματι για x = \frac{\pi }{6}
έχουμε την ελάχιστη τιμή.
Αυτό μπόρεσα να κάνω και το δημοσιεύω. Πιθανώς, μέσω ανισοτικών σχέσεων να προκύψει η απάντηση.
Παραθέτω και το σχήμα που εργάστηκα με το Geogebra, το οποίο με βοήθησε να "δοκιμάσω' την εικασία μου.
Συνημμένα
ελαχιστο άθροισμα, μεγάλο κόλπο.ggb
(21.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 4 φορές
ελαχιστο άθροισμα, μεγάλο κόλπο.png
ελαχιστο άθροισμα, μεγάλο κόλπο.png (105.22 KiB) Προβλήθηκε 218 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μεγάλο κόλπο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 15, 2017 8:49 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 12, 2017 7:59 pm
Το μεγάλο κόλπο.pngΤο σημείο S κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB και ας ονομάσουμε M , το μέσο

της χορδής AS . Επιλέγουμε σημείο P του τόξου , ώστε \overset{\frown}{SP}=\overset{\frown}{SB} . Που πρέπει

να τοποθετήσουμε το S , ώστε να ελαχιστοποιηθεί το άθροισμα MB+MP ;

Σας ρωτώ για να μάθω , όχι για να ελέγξω τις γνώσεις σας :lol:
Το μεγάλο κόλπο.png
Το μεγάλο κόλπο.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές
Έστω BS=SP=x, AB=2R και N το μέσο του PB. Είναι \boxed{AS^2=4R^2-x^2} (1) και από Π. Θ στο MSB

βρίσκω \boxed{BM = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 4{R^2}} }}{2}} (2) Εφαρμόζω θ. διαμέσων στο APS.


\displaystyle P{M^2} = \frac{{2P{A^2} + 2{x^2} - A{S^2}}}{4}\mathop  = \limits^{(1)} \frac{{2(4{R^2} - P{B^2}) + 3{x^2} - 4{R^2}}}{4} \Leftrightarrow P{M^2} = \frac{{3{x^2} + 4{R^2} - P{B^2}}}{4}

ASB, BNS είναι όμοια: \displaystyle \frac{{SN}}{x} = \frac{x}{{2R}} \Leftrightarrow SN = \frac{{{x^2}}}{{2R}} \Leftrightarrow \frac{{P{B^2}}}{4} = {x^2} - \frac{{{x^4}}}{{4{R^2}}} \Leftrightarrow P{B^2} = 4{R^2}{x^2} - {x^4}

Άρα: \displaystyle PM = \frac{{\sqrt {2{x^4} - 5{R^2}{x^2} + 4{R^4}} }}{{2R}} και από την (2),

\boxed{MB + MP = \frac{{\sqrt {3{x^2} + 4{R^2}} }}{2} + \frac{{\sqrt {2{x^4} - 5{R^2}{x^2} + 4{R^4}} }}{{2R}}}

Εδώ επεμβαίνει το λογισμικό και δίνει για \boxed{x\simeq 0.97844R} ελάχιστη τιμή \boxed{{(MB + MP)_{\min }} \simeq 1.82217R}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το μεγάλο κόλπο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 15, 2017 9:34 am

Ανδρέα , ευχαριστώ πολύ , διότι έβγαλες - μαεστρικά - το δύσκολο μέρος της λύσης .

Δυστυχώς , όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με χρήση λογισμικού , το ελάχιστο

επιτυγχάνεται για x=0,511198 , που αντιστοιχεί σε γωνία 29,2895^0

- ελάχιστα μικρότερη των 30^0 , στην οποία οδηγεί η παρατήρησή σου .

Με αυτή τη γωνία βρίσκουμε : BS=0,97845 R ( γεια σου Γιώργο ! )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης