mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm**

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 2025 φορές

Πάνω στη διάμεσο

τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο

,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 9:02 pm**

(Δεν με ενδιαφέρει η ομορφιά !)

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (36.88 KiB) Προβλήθηκε 2015 φορές

Έστω

το σημείο τομής της

με τον περιγεγραμμένο κύκλο του $\vartriangle ABC$ .

Η μεσόκάθετος στο

τέμνει στο

την κάθετο επί την

στο σημείο του

.

Ο κύκλος (K,KC)

τέμνει , εν γένει , την

στο

.

Θα επανέλθω μετά από άλλες λύσεις αν έχω κάτι καλύτερο βρει.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 9:16 pm**

Δίχως να θέλω καθόλου να επηρεάσω την αμερόληπτη κρητική επιτροπή:

: 14-12-2017 Γεωμετρία.jpg (36.29 KiB) Προβλήθηκε 2008 φορές

Από τον πανέμορφο Ν Ημιτόνων στα ABΜ, SCM

έχουμε $\displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{c}{{\eta \mu {{\rm M}_1}}}$ και $\displaystyle \frac{{a/2}}{{\eta \mu \omega }} = \frac{{BC}}{{\eta \mu {{\rm M}_2}}}$ .

Αφού $\displaystyle \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = 180^\circ$ , είναι $\displaystyle \eta \mu {{\rm M}_1} = \eta \mu {{\rm M}_2}$ οπότε SC = c

.

Με κέντρο

και ακτίνα

κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την

στο εσωτερικό του σημείο

, αφού η γωνία $\displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}}$ είναι οξεία. Το τρίγωνο BKM

είναι ισοσκελές με $\displaystyle \widehat {{{\rm K}_1}} = \widehat {{{\rm M}_1}}$ άρα και $\displaystyle \widehat {{{\rm K}_2}} = \widehat {{{\rm M}_2}}$ , οπότε τα τρίγωνα ABK, SMC

είναι ίσα, άρα AK =MS

.

Οπότε προσδιορίσαμε τη θέση του

.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 11:13 pm**

: point S.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 1967 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 11:17 pm**

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 11:13 pm
point S.png

Παντού και πάντοτε τα νιάτα είναι ασυναγώνιστα !

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Δεκ 14, 2017 11:30 pm**

: Διαγωνισμός ομορφιάς_new.png (32.19 KiB) Προβλήθηκε 1955 φορές

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει τον κύκλο (A,B,M)

στο

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

ακόμα στο

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 7:36 pm**

: Beauty star.png (14.38 KiB) Προβλήθηκε 1894 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 8:14 pm**

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (10.6 KiB) Προβλήθηκε 1884 φορές

Παίρνω :

, τέλος ...

Ολιγόλογη και μυστηριώδης , κερδίζει το στέμμα , το οποίο δεν επιστρέφεται .

Επιτάχυνα κάπως την παρουσίαση της λύσης μου , επειδή ήθελα πολύ

αυτή τη νίκη και στην πίστα άρχιζαν να εμφανίζονται κι άλλες επικίνδυνα

όμορφες ! Δεν νομίζω ότι θα αμφισβητηθεί η απόφαση της κριτικής επιτροπής

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 8:17 pm**

Επιδιώκω το βραβείο απλότητας.
Αν η επιτροπή είναι "κρητική" π.χ. Βαρβεράκης και Παντερής (που είναι και συνονόματοι), τότε το βραβείο το έχω στο τσεπάκι.

Ονομάζω β το μέτρο της γωνίας ABC

.
Αν δοθούν δύο γωνίες με μέτρο φ και β, τότε είναι εύκολη η κατασκευή της γωνίας π-2φ-β, (επίπεδο Α Γυμνασίου).
Άρα, κατασκευάζω γωνία MCS

με μέτρο π-2φ-β.
Τότε όπως φαίνεται στο συνημμένο σχήμα η γωνία MSC

έχει μέτρο φ.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 8:58 pm**

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 9:16 pm

Με κέντρο και ακτίνα κατασκευάζουμε κύκλο που τέμνει την στο εσωτερικό του σημείο , αφού η γωνία $\displaystyle \widehat {{{\rm M}_1}}$ είναι οξεία.

Απολογούμαι, συμπληρώνω: "Που τέμνει την

σε εσωτερικό σημείο

αν $AB <\frac{BC}{2}$ ".
Πράγματι, αν $AB > \frac{BC}{2}$ το πρόβλημα δεν έχει λύση.

: 15-12-2017 Γεωμετρία.png (52.79 KiB) Προβλήθηκε 1862 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 9:39 pm**

: Διαγωνισμός ομορφιάς.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 1858 φορές

Επειδή ( ως επιτροπή ) έγινα δέκτης πολλών παραπόνων για μεροληψία προς μία

ανεπαρκή λύση , αναρτώ ένα ακόμη σχήμα , ελπίζοντας να ατονήσουν οι διαμαρτυρίες

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 10:43 pm**

Θανάση συνέχισε να είσαι δίκαιος, αντικειμενικός, αμερόληπτος, αδέκαστος, απροκατάληπτος.

Ετσι μαθαίνουμε από μικροί ότι στη Ελλάδα ΠΑΝΤΑ υπάρχει ένα παρασκήνιο !!!

Υ.Γ. Θέλω να αγιάσω αλλά δεν με αφήνουν !!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Δεκ 15, 2017 11:35 pm**

Για να μη χάσω το "βραβείο".

Πρέπει να ισχύει 2φ + β < 180.
Υποθέτω αυτή παρατήρηση είναι ισοδύναμη με αυτή του Γιώργου Ρίζου για τη διερεύνηση της λύσης.
Πάντως, για άλλη μια φορά αποδεικνύεται ότι μια απλή άσκηση μπορεί να έχει ενδιαφέρον από την άποψη της μάθησης και της διδασκαλίας.
Τώρα, που το ξαναείδα, θα μπορούσε να γραφεί στην εκφώνηση, ότι το σημείο

ανήνει στον φορέα της διαμέσου,
οπότε μπορεί να βρίσκεται και εκτός του τριγώνου,
Έτσι, λύνεται το μειονέκτημα που επεσήμανε ο Γιώργος Ρίζος.

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 1:01 am**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο ,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Στις πανέμορφες λύσεις που προηγήθηκαν προσθέτω μια ακόμη

Με $\displaystyle C'$ συμμετρικό του $\displaystyle C$ ως προς $\displaystyle AM$ είναι $\displaystyle SC' = SC$ , $\displaystyle AB//SC'$

κι επειδή $\displaystyle BM = MC = MC'$ θα είναι $\displaystyle BC' \bot CC' \Rightarrow ASC'B$ παραλ/μμο.

Άρα $\displaystyle AB = SC' = SC$ .Η τομή του $\displaystyle \left( {C,AB} \right)$ με την $\displaystyle AM$ δίνει τη θέση του $\displaystyle S$

: D.O.png (11.92 KiB) Προβλήθηκε 1809 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 1:01 pm**

: Beauty star.II.png (17.18 KiB) Προβλήθηκε 1768 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 1:27 pm**

Κύριοι , όπως προείπαμε το στέμμα δεν επιστρέφεται , όσο και να προσπαθήσετε

Είναι αλήθεια πάντως , ότι η επιτροπή εντυπωσιάστηκε από κάποιες υποψήφιες , κυρίως

δε από εκείνη του Ορέστη αλλά - είπαμε - το που θα δοθεί ο τίτλος , ήταν προαποφασισμένο

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 1:49 pm**

: shape.png (38.3 KiB) Προβλήθηκε 1761 φορές

συμμετρικό του

ως προς

…

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 3:00 pm**

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 14, 2017 8:12 pm
Διαγωνισμός ομορφιάς.pngΠάνω στη διάμεσο τριγώνου $\displaystyle ABC , (AB<AC)$ , καλούμαστε να εντοπίσουμε σημείο ,

έτσι ώστε : $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$ . Κερδίζει η ομορφότερη λύση . Αλλά τα κριτήρια επιλογής , καθώς

και η σύνθεση της κριτικής επιτροπής δεν προαναγγέλλονται για ευνόητους λόγους .

Χωρίς επιπλέον γραμμές...

Έστω

σημείο στην

ώστε $\widehat{BAM}=\widehat{MSC}$

Επειδή η

είναι διάμεσος έχουμε:

(ABM)=(AMC)

και

, επομένως (ABS)=(ASC)

Είναι γνωστό (και προκύπτει εύκολα) ότι σε δύο τρίγωνα που έχουν μια γωνία ίση ή παραπληρωματική τότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των προσκείμενων στη γωνία πλευρών. Επομένως από τα τρίγωνα ABS

και

έχουμε:

$\dfrac{AB \cdot AS}{SC \cdot AS}=\dfrac{(ABS)}{(ASC)} \Leftrightarrow \dfrac{AB}{SC} =1 \Leftrightarrow \boxed{AB=SC}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 3:18 pm**

Τι γίνεται ρε παιδιά , Βενεζουέλα καταντήσαμε !

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 16, 2017 4:26 pm**

: shape2.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 1723 φορές

μεσοκάθετος της

, $CS\parallel KM$ και αποδεσμευόμαστε απ’ το να είναι η

διάμεσος…

mathematica.gr

Διαγωνισμός ομορφιάς

Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς

Re: Διαγωνισμός ομορφιάς